Teorema di Hopf-Rinow

In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo alla completezza di una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow.

Il teoremaModifica

L'enunciato del teorema di Hopf-Rinow è il seguente.

Sia   una varietà riemanniana connessa per archi. I fatti seguenti sono equivalenti:

  1.   è uno spazio metrico completo.
  2. I sottoinsiemi chiusi e limitati in   sono compatti.
  3. Ogni geodetica in   può essere prolungata indefinitivamente. In altre parole, per ogni punto   di   la relativa mappa esponenziale è definita sull'intero spazio tangente   in  .

EsempiModifica

Spazio euclideoModifica

Lo spazio euclideo   con la usuale metrica euclidea è completo. Questo perché la retta reale è uno spazio completo, ed il prodotto di spazi completi è completo.

Varietà compatteModifica

Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero l'opposto: lo spazio euclideo non è compatto.

Rimozione di un puntoModifica

Rimuovendo un punto   da una varietà riemanniana   qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana   non completa. Nessuna delle tre ipotesi elencate è infatti verificata:

  • Una successione di punti in   convergente a   è di Cauchy in   ma non converge.
  • Sia   una palla chiusa di raggio   centrata in  . L'insieme   è chiuso e limitato in  , ma non compatto.
  • Se   è una geodetica in   attraversante  , viene tagliata in due geodetiche in  , ciascuna delle quali non può essere estesa indefinitivamente nella direzione di  .

Dipendenza dalla metricaModifica

La completezza di una varietà riemanniana dipende fortemente dalla metrica presente, e cioè dal suo tensore metrico. La stessa varietà differenziale può infatti essere completa o non completa, a seconda della metrica di cui è dotata.

Ad esempio, la palla unitaria

 

non è completa se dotata dell'usuale metrica, indotta da quella di  , ma risulta completa se dotata della metrica di Poincaré.

BibliografiaModifica

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlateModifica

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