Varietà differenziabile

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In matematica, e in particolare in geometria differenziale, la nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo infinitesimale.

IntroduzioneModifica

Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie differenziabile che localmente assomiglia ad un piano, una varietà  -dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo  -dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale è definita mediante parametrizzazioni dotate di una struttura differenziabile che verrà descritta in seguito e che garantisce la possibilità di associare univocamente in ogni punto uno "spazio tangente" della stessa dimensione della varietà (come ad esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).

Le varietà differenziabili sono gli elementi di base della geometria differenziale, punto d'incontro di analisi e topologia. Essenzialmente la teoria delle varietà differenziabili serve a trasferire su oggetti tipicamente descritti come spazi topologici i concetti e gli strumenti del calcolo differenziale, definito generalmente sugli spazi euclidei. Lo studio delle varietà differenziabili è fondamentale in fisica, in quanto permette di definire campi vettoriali e flussi di fase su spazi non necessariamente piatti. Trova innumerevoli applicazioni anche nella matematica pura, grazie alle interconnessioni con altre branche quali la topologia e la teoria dei numeri.

DefinizioneModifica

Una varietà topologica è uno spazio topologico di Hausdorff completamente separabile per il quale è possibile definire un ricoprimento   costituito da insiemi aperti tale che ogni aperto può essere messo in relazione con un aperto dello spazio euclideo attraverso un omeomorfismo  . La coppia   è detto carta locale o semplicemente carta. L'insieme degli omeomorfismi costituisce l'atlante. La composizione di funzioni costituita da una carta e la funzione inversa di un'altra carta è detta funzione di transizione, e se si tratta di funzioni differenziabili la varietà è differenziabile.

Essendo ogni insieme aperto   isomorfo a un aperto di  , tutti i teoremi locali del calcolo differenziale ordinario si possono estendere direttamente alle varietà.

SottovarietàModifica

Una sottovarietà differenziabile   in una varietà differenziabile   è un sottoinsieme che può essere descritto localmente come zero di una funzione differenziabile:

 

dove   è un aperto di   e il cui differenziale (letto su qualsiasi carta) è ovunque suriettivo. Si tratta effettivamente anch'essa di una varietà differenziabile, avente codimensione   in   (cioè, se   allora  ). L'ipotesi di un differenziale suriettivo è necessaria per ottenere effettivamente una varietà differenziabile.

Nel caso  , la varietà è anche detta ipersuperficie, e la condizione sul differenziale è equivalente alla richiesta che il gradiente di   sia (su ogni carta) ovunque diverso da zero.

Intorno tubolareModifica

Un importante risultato riguardante le sottovarietà è il teorema dell'intorno tubolare. Il teorema asserisce che ogni sottovarietà differenziabile   ha un intorno fatto come un tubo, cioè diffeomorfo ad un fibrato di dischi  -dimensionali su  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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