Teoria dei numeri geometrica

In teoria dei numeri, la teoria dei numeri geometrica studia corpi convessi e vettori interi nello spazio $n$ -dimensionale^[1]. La teoria dei numeri geometrica fu introdotta da Hermann Minkowski nel 1896.

La disciplina è strettamente connessa con altri campi della matematica, specialmente con l'analisi funzionale e l'approssimazione diofantea.^[2]

I risultati di Minkowski

Supponiamo che $\Gamma$ sia un reticolo nello spazio euclideo $n$ -dimensionale $\mathbb {R} ^{n}$ e che $K$ sia un corpo convesso centralmente simmetrico.

Il teorema di Minkowski, conosciuto anche come il primo teorema di Minkowski, illustra che se $\mathrm {vol} (K)>2^{n}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )$ , allora $K$ contiene un vettore non negativo in $\Gamma .$

Il minimo successivo $\lambda _{k}$ è definito come l'estremo inferiore dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda K$ contenga $k$ vettori linearmente indipendenti di $\Gamma .$

Il teorema di Minkowski sui minimi successivi, a volte chiamato il secondo teorema di Minkowski, è un rafforzamento del primo teorema e stabilisce che^[3]

\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\mathrm {vol} (K)\leq 2^{n}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).

Ricerche successive

Negli anni 1930-1960 furono condotte svariate ricerche da molteplici matematici (che includono Louis Mordell, Harold Davenport e Carl Ludwig Siegel). Recentemente, i matematici Lenstra, Brion, e Barvinok hanno sviluppato teorie in combinatoria che enumerano i punti del reticolo in corpi complessi.^[4]

Teorema dei sottospazi di Schmidt

In teoria dei numeri geometrica, il teorema dei sottospazi fu descritto da Wolfgang M. Schmidt nel 1972.^[5] Dimostra che se $n$ è un numero intero positivo, e $L_{1}(x),\ldots ,L_{n}(x)$ sono polinomi omogenei indipendenti in $n$ variabili con coefficienti algebrici e se $\varepsilon >0$ è un qualsiasi numero reale, allora i punti interi non negativi $x$ in $n$ coordinate con

|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }

giacciono su un numero finito di sottospazi vettoriali $\mathbb {Q} ^{n}$

Influenza in analisi funzionale

Le scoperte di Minkowski ebbero una profonda influenza in analisi funzionale. Minkowski dimostrò che corpi convessi simmetrici inducono norme in spazi vettoriali di dimensione finita. Il teorema di Minkowski fu generalizzato negli spazi topologici vettoriali da Kolmogorov.^[6]

Ricercatori continuano a studiare generalizzazioni in insiemi stellati ed altri insiemi convessi.^[7]

Note

^ MSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.
^ Libri di Schmidt. Grötschel et al., Lovász et al., Lovász.
^ Cassels (1971) pag. 203
^ Grötschel et al., Lovász et al., Lovász, e Beck e Robins.
^ Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pag. 526-551. Si vedano anche i libri di Schmidt; Bombieri e Vaaler e anche Bombieri e Gubler.
^ Per il teorema di norambilità di Kolmogorov, si veda Functional Analysis di Walter Rudin. Per ulteriori approfondimenti, si veda Schneider, e Thompson e Kalton et al.
^ Kalton et al. Gardner

Bibliografia

Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.
Enrico Bombieri e Vaaler, J., On Siegel's lemma ^{[collegamento interrotto]}, in Inventiones Mathematicae, vol. 73, n. 1, Feb 1983, pp. 11–32, DOI:10.1007/BF01393823.
Enrico Bombieri and Walter Gubler, Heights in Diophantine Geometry, Cambridge U. P., 2006.
J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
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P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
Hancock, Harris, Development of the Minkowski Geometry of Numbers, Macmillan, 1939. (Republished in 1964 by Dover.)
Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
Nigel J. Kalton, N. Tenney Peck e James W. Roberts, An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge, Cambridge University Press, 1984, pp. xii+240, ISBN 0-521-27585-7.
C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W., Jr.; Lovász, L., Factoring polynomials with rational coefficients, in Mathematische Annalen, vol. 261, n. 4, 1982, pp. 515–534, DOI:10.1007/BF01457454.
Lovász, L.: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
Template:Springer
Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin, R. G. Teubner, 1910, JFM 41.0239.03. URL consultato il 28 febbraio 2016.
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
Wolfgang M. Schmidt, Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467, 2nd, Springer-Verlag, 1996, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020.
Siegel, Carl Ludwig, Lectures on the Geometry of Numbers, Springer-Verlag, 1989.
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
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Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence . Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. DOI: 10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. DOI: 10.2307/1989946

[1] MSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.

[2] Libri di Schmidt. Grötschel et al., Lovász et al., Lovász.

[3] Cassels (1971) pag. 203

[4] Grötschel et al., Lovász et al., Lovász, e Beck e Robins.

[5] Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pag. 526-551. Si vedano anche i libri di Schmidt; Bombieri e Vaaler e anche Bombieri e Gubler.

[6] Per il teorema di norambilità di Kolmogorov, si veda Functional Analysis di Walter Rudin. Per ulteriori approfondimenti, si veda Schneider, e Thompson e Kalton et al.

[7] Kalton et al. Gardner

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