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Distribuzione continua uniforme su un intervallo
Funzione di densità di probabilità
Densità di probabilità
Funzione di ripartizione
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In teoria delle probabilità la distribuzione continua uniforme è una distribuzione di probabilità continua che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità a tutti i punti appartenenti ad un dato intervallo [a,b] contenuto nell'insieme.

DefinizioneModifica

La distribuzione continua uniforme   su un insieme misurabile S, di misura finita non nulla, è una distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti i sottoinsiemi di S con la stessa misura la stessa probabilità di verificarsi.

La sua densità di probabilità è un multiplo della funzione indicatrice dell'insieme S,

 

dove   è la misura dell'insieme S.

In particolare ogni sottoinsieme misurabile A di S ha una probabilità di verificarsi proporzionale alla propria misura:

 .

Su un intervalloModifica

La distribuzione uniforme continua viene solitamente definita su un intervallo  ; in questo caso viene indicata  .

La sua densità di probabilità è

  su  .

Come intervallo  , inoltre, viene spesso preso l'intervallo unitario  , che può essere sempre ricondotto al caso precedente tramite una trasformazione lineare, ovvero considerando la variabile aleatoria   al posto di  . In particolare, la variabile aleatoria 1-X segue la stessa distribuzione  .

In questo caso la densità di probabilità diventa

  su  ,

la funzione di ripartizione è

  su  ,

e la probabilità di un intervallo   è pari alla sua lunghezza:

 

(nel caso generale la probabilità di un intervallo è proporzionale alla sua lunghezza).

Per il calcolo delle probabilità i singoli valori f(0) e f(1) sono ininfluenti: basta che la densità di probabilità resti invariata quasi ovunque. Talvolta vengono posti pari a 0, prendendo la funzione indicatrice dell'intervallo aperto  , o a 1/2, prendendo come densità di probabilità la funzione rettangolo (in questo caso la distribuzione è anche chiamata distribuzione rettangolare).

CaratteristicheModifica

Se X è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme  , allora   è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme  , le cui caratteristiche si ricavano facilmente da quelle di X.

Le due variabili aleatorie hanno

 ;
 ;
 ;
 ;

Dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano (per il più generale Y) i momenti semplici

 ;

siccome la variabile aleatoria centrata   segue una distribuzione uniforme su  , si ricavano immediatamente i momenti centrali di Y

 

In particolare si trovano gli indici di asimmetria e di curtosi

 .

Infine, l'entropia di Y è

 .

Altre distribuzioniModifica

Ogni distribuzione di probabilità univariata (cioè sui numeri reali) è legata alla distribuzione uniforme  . Se X segue la distribuzione uniforme su   ed F è una qualunque funzione di ripartizione, prendendo la funzione

 

si può definire una variabile aleatoria

 

che ha proprio F come funzione di ripartizione.

Ad esempio,   segue la distribuzione esponenziale  .

In informatica questa proprietà viene chiamata metodo dell'inversione e viene utilizzata per trasformare un generatore "casuale" di campioni per X in un generatore di campioni per Y.

La somma   di due variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme   segue una distribuzione triangolare simmetrica (distribuzione di Simpson).

Più in generale, la distribuzione di Irwin-Hall descrive la somma   di n variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme  .

La distribuzione Beta   corrisponde alla distribuzione uniforme  . Inoltre, se X segue questa distribuzione uniforme, allora   segue la distribuzione Beta  .

Il parallelo della distribuzione continua uniforme tra le distribuzioni discrete è la distribuzione discreta uniforme, definita su un insieme finito S, che attribuisce ad ogni suo sottoinsieme una probabilità di verificarsi pari alla propria cardinalità. (In altri termini è la stessa definizione, con una diversa misura.)

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

(EN) Eric W. Weisstein, distribuzione uniforme, in MathWorld, Wolfram Research.

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