e (costante matematica)

costante matematica che esprime il valore del limite (1+1/n)^n per n tendente a infinito
(Reindirizzamento da Costante di Nepero)

In matematica il numero è una costante matematica il cui valore approssimato a 12 cifre decimali è . È la base della funzione esponenziale e del logaritmo naturale. Può essere definita in vari modi, il più comune tra i quali è come limite della successione al tendere di all'infinito. Insieme a pi greco è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate.

e (Numero di Eulero)
Simboloe
Valore2,71828 18284 59045 23536 ...
(sequenza A001113 dell'OEIS)
Origine del nomeEulero
Frazione continua[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]
(sequenza A003417 dell'OEIS)
Insiemenumeri trascendenti
Costanti correlateCostante di Gel'fond, Costante Omega

La costante compare nella formula di Eulero, una delle identità matematiche più importanti.

È un numero trascendente, dunque irrazionale, e tramite la formula di Eulero è legato alle funzioni trigonometriche. In ambito internazionale il numero è chiamato numero di Eulero, mentre in Italia viene anche detto numero di Nepero, pur essendo stato usato per la prima volta da Jakob Bernoulli nel tentativo di trovare un metodo per il calcolo degli interessi composti.

Definizioni

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Il numero   può essere definito in uno dei seguenti modi:

 
 

dove   è il fattoriale del numero naturale  .

Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.

Un modo alternativo (non standard) di definire   coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Nepero si può definire come il valore in   della funzione   soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale   con condizioni iniziali  .

Proprietà

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Numero irrazionale e trascendente

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Il numero   è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione. Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza per la costante di Liouville. Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. Si presume che esso sia un numero normale.

Formula di Eulero

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La costante   compare nella formula di Eulero, una delle più importanti identità della matematica:

 

dove   indica l'unità immaginaria. Il caso particolare con   è noto come identità di Eulero:

 

questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".

Frazione continua

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Lo sviluppo di   come frazione continua infinita è espresso dalla seguente configurazione:

 

Troncando la frazione continua si ottengono le approssimazioni razionali di  , di cui le prime (non intere) sono  .

Proprietà analitiche

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Il numero   è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie   per le quali  . Oltre al caso banale  , l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette   e  . Tale curva e la retta   si intersecano nel punto  . Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice  -esima di  , ovvero  , ha massimo per   e l'esponenziale  -esimo di  , ovvero  , ha minimo per  .

 
Nel corso degli anni il numero   è stato approssimato con una precisione di milioni di cifre decimali.

Il primo riferimento ad   in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di   come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli[1]:

 

Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La sua prima citazione, rappresentata con la lettera   compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera   per la costante nel 1727 e il primo uso di   compare nella Mechanica di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera  , poi l'uso di   si è fatto più comune. Oggi la lettera   è il simbolo definitivo per indicare il numero di Nepero.

Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera  , si può supporre che   fu scelto perché iniziale della parola esponenziale.[2] Un altro motivo sta nel fatto che  ,  ,  , e   venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed   era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.

Dimostrazione dell'equivalenza delle due formulazioni

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La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.

Definiamo

 
 

Dal teorema binomiale,

 
 

tale che

 

Qui deve essere usato il limite superiore o  , poiché non è ancora noto che   converge effettivamente. Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di  , se  , abbiamo

 

Fissato   si fa tendere   all'infinito. Otteniamo

 

(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o   poiché non è ancora garantito che   converge).

Ora, considerando la disuguaglianza precedente,   si avvicina all'infinito, e colloca quest'ultima assieme all'altra disuguaglianza; da cui:

 

Questo completa la dimostrazione.

Rappresentazione stocastica

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Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolare  , esistono metodi stocastici per stimarlo. Uno di questi parte da una successione infinita di variabili casuali indipendenti   distribuite uniformemente nell'intervallo  . Sia   il numero di somme parziali di variabili   che siano strettamente minori di  , ponendo:

 

dove   allora il valore atteso   è proprio la costante  .

  1. ^ Boyer, p.339.
  2. ^ Boyer, p. 510.

Bibliografia

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Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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