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Dominio d'integrità

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In algebra, un dominio d'integrità è un anello commutativo con unità tale che in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

In altre parole, un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:

La seconda legge viene detta legge di annullamento del prodotto. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo è primo, o come sottoanello di un qualche campo.

La condizione che serve all'unico scopo di escludere l'anello banale con un solo elemento.

EsempiModifica

Domini d'integritàModifica

  • L'esempio tipico è l'anello   degli interi.
  • Ogni campo è un dominio di integrità. Viceversa, ogni dominio di integrità artiniano è un campo. In particolare, gli unici domini di integrità finiti sono i campi finiti.
  • L'anello   dei polinomi in   a coefficienti in un dominio di integrità   è anch'esso un dominio di integrità. Per esempio, l'anello   dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello   dei polinomi in due variabili a coefficienti reali.
  • L'insieme di tutti i numeri reali della forma   con   e   interi è un sottoanello di   e quindi un dominio d'integrità. Un esempio simile è dato dal sottoanello dei numeri complessi della forma   con   e   interi (gli interi gaussiani).
  • Gli interi p-adici.
  • Se   è un sottoinsieme aperto connesso del piano complesso  , allora l'anello   delle funzioni olomorfe   è un dominio d'integrità.
  • Se   è un anello commutativo e   è un ideale in  , allora l'anello quoziente   è un dominio d'integrità se e solo se   è un ideale primo.

Anelli che non sono domini d'integritàModifica

  • Il gruppo ciclico finito con   elementi ha anche una ovvia struttura di anello commutativo. Se   è un numero primo, questo anello è un campo, e quindi anche un dominio di integrità. Se invece   non è primo, l'anello non è un dominio di integrità. Infatti: poiché   non è primo esistono   e   tali che  , e tale uguaglianza nel gruppo diventa  , con   e   diversi da zero.
  • Un anello non commutativo non è un dominio di integrità. Ad esempio, l'anello delle matrici   generalmente non è commutativo.

Campo delle frazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: campo dei quozienti.

Se   è un dominio d'integrità, il più piccolo campo   che contiene   come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato campo delle frazioni o campo quoziente di  .

Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, quozientando l'insieme delle coppie del prodotto cartesiano di  , scritte nella forma  , con   e   in   e  , tramite la relazione di equivalenza   se e solo se   e munendolo delle operazioni

 
 .

Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei numeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui   e   sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.

Altre proprietàModifica

Sia   un dominio d'integrità.

  • Se   e   sono due elementi di   tali che   e   è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se   non è invertibile, e ottenere  : infatti abbiamo   e quindi   perché   è un dominio d'integrità.
  • La caratteristica di   è zero o un numero primo.
  • Se   ha caratteristica prima  , allora   definisce un omomorfismo fra anelli iniettivo  , detto omomorfismo di Frobenius.

Divisibilità, elementi primi e irriducibiliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Fattorizzazione (teoria degli anelli).

In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in  : in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in  .

DivisibilitàModifica

Se   e   sono elementi di un anello commutativo  , diciamo che   divide   o   è un divisore di   o   è un multiplo di   se e solo se esiste un elemento   in   tale che  . In questo caso scriviamo  . Abbiamo le seguenti proprietà:

  • se   e  , allora  ;
  • se   divide  , allora   divide ogni multiplo di  ;
  • se   divide due elementi, allora   divide anche la loro somma e la loro differenza.

Gli elementi che dividono   sono le unità di  , e sono precisamente gli elementi invertibili di  . Le unità dividono ogni altro elemento.

Se   e  , allora diciamo che   e   sono elementi associati;   e   sono associati se e solo se esiste un'unità   tale che  .

Elementi primi e irriducibiliModifica

Nel tentativo di estendere una definizione di numero primo da   ad un anello commutativo   qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in   possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi irriducibili e primi.

  • Un elemento   di   è irriducibile se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità.
  • Un elemento   che non sia un'unità e diverso da zero di   è primo se   implica   oppure  , per ogni   e   in  .

Le due definizioni coincidono su  : un numero   è irriducibile (o primo) se e solo se   oppure   è un numero primo.

Se   è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che   dove   e   sono elementi di  . Allora   divide  . Quindi   oppure   perché   è primo. Supponiamo  , cioè  . Quindi  , ovvero  . Poiché   è un dominio di integrità e   non è lo zero, abbiamo   e quindi   è un'unità. Quindi   è irriducibile.

In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se   è un dominio a fattorizzazione unica i due concetti sono equivalenti.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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