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Tangente (matematica)

funzione trigonometrica
(Reindirizzamento da Funzione tangente)
Figura 1. Dato un triangolo rettangolo, la tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo

In matematica, in particolare in trigonometria, la tangente è una funzione trigonometrica definita come il rapporto tra il seno ed il coseno. Convenzionalmente tale funzione viene indicata come tan (più raramente tg).

Indice

ProprietàModifica

Se osserviamo la figura 2 vediamo che i triangoli OAB e OCD sono simili, quindi:

 

espressione che giustifica graficamente la definizione trigonometrica della tangente:

 

La tangente è una funzione periodica con periodo   ovvero:

 .

La derivata prima della tangente è:

 

La funzione primitiva della tangente è:

 

Lo sviluppo di Taylor della funzione tangente al settimo ordine è

 

La tangente è una funzione dispari, ovvero:

 

Il reciproco della tangente è detto cotangente:

 

La funzione inversa della tangente è l'arcotangente.

 
Figura 3. La tangentoide

La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione tangente:

  in radianti 0              
  in gradi 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
  0   1     0   0

La funzione   non è definita per valori di  .

Geometria analiticaModifica

 

Possiamo anche definire la tangente come il coefficiente angolare di una retta. In questo caso rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo che la retta stessa forma con l'asse delle x. Per renderci conto della veridicità di questa affermazione, ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta passante per due punti, siano   e  , è esattamente  , che equivale al rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo compreso tra la retta e l'asse delle  .

Seno e cosenoModifica

Per ottenere i valori del seno e del coseno di   conoscendone la tangente possiamo fare un semplice ragionamento. Innanzitutto pensiamo   come il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto   sulla circonferenza centrata nell'origine   degli assi (il raggio è ininfluente poiché il valore della tangente è univocamente determinato). Possiamo considerare queste ascissa e ordinata come i cateti del triangolo rettangolo che ha il raggio   come ipotenusa. Da questo punto di vista il seno di   è il rapporto tra l'ordinata di   e l'ipotenusa  , mentre il coseno di   è il rapporto tra l'ascissa di   e l'ipotenusa  .

Applicando il teorema di Pitagora possiamo dire, dato

 

che:

 
 

Origine del nomeModifica

Il nome deriva dal fatto che può esser definita come la lunghezza di un segmento della tangente (in senso geometrico) alla circonferenza goniometrica. Infatti, data una circonferenza goniometrica (di raggio unitario), la tangente di un angolo α è l'ordinata del punto di intersezione tra il secondo lato (o il suo prolungamento) dell'angolo in posizione normale (il vertice dell'angolo coincide con l'origine degl'assi cartesiani e il primo lato coincide con il semiasse positivo delle ascisse) e la retta tangente alla circonferenza nel punto di coordinate (1,0).

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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