Lemma di Gronwall

Nell'analisi matematica, il lemma di Grönwall (o disuguaglianza di Grönwall) permette di limitare una funzione che soddisfa una certa disuguaglianza differenziale o integrale con la soluzione della corrispondente equazione differenziale o integrale. Ci sono due forme del lemma, una forma differenziale e una integrale. Per quest'ultimo esistono diverse varianti.

Il lemma di Grönwall è uno strumento importante per ottenere varie stime nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie e stocastiche. In particolare, fornisce un teorema del confronto che può essere usato per dimostrare l'unicità di una soluzione al problema di Cauchy; vedere il teorema di Picard–Lindelöf.

Il suo nome deriva da Thomas Hakon Grönwall (1877–1932). Grönwall è la grafia svedese del suo nome, ma dopo essere emigrato negli Stati Uniti firmerà le pubblicazioni scientifiche come Gronwall.

La forma differenziale della disuguaglianza fu provata da Grönwall nel 1919.[1] La forma integrale fu invece dimostrata da Richard Bellman nel 1943 (per questo motivo la disuguaglianza viene chiamata anche di Grönwall–Bellman).[2]

Una generalizzazione non lineare del lemma è conosciuta come la disuguaglianza di Bihari–LaSalle. Altre varianti e generalizzazioni possono essere trovate in Pachpatte, B.G. (1998).[3]

Forma differenzialeModifica

Sia   un intervallo della retta reale nella forma   o   o   con  . Siano inoltre   e   funzioni continue a valori reali definite su  . Se   è derivabile nella parte interna   di   (l'intervallo   senza gli estremi) e soddisfa la disuguaglianza differenziale

 

allora   è limitata dalla soluzione della corrispondente equazione differenziale  :

 

per ogni  .

Osservazione: Non ci sono ipotesi sul segno delle funzioni   e  .

DimostrazioneModifica

Si definisce la funzione

 

Si nota che   soddisfa

 

con   e   per ogni  . Per la regola del quoziente

 

Perciò la derivata della funzione   è non positiva e quindi la funzione è decrescente e limitata superiormente dal suo valore nell'estremo sinistro   dell'intervallo  :

 

che è la disuguaglianza di Grönwall.

Forma integrale per funzioni continueModifica

Sia   un intervallo della retta reale nella forma   o   o   con  . Siano inoltre  ,  e   funzioni a valori reali definite su  . Si assuma che   e   siano continue e che la parte negativa di   è integrabile in ogni sottointervallo chiuso e limitato di  .

  • (a) Se   è non negativa e se   soddisfa la seguente disuguaglianza integrale
 
allora
 
  • (b) Se, inoltre, la funzione   è non decrescente, allora
 

Osservazioni:

  • Non ci sono ipotesi sul segno di   e  .
  • Comparata alla forma differenziale, la derivabilità di   non è richiesta nella forma integrale.
  • Per una versione del lemma di Grönwall che non richieda la continuità di   e  , vedere la sezione successiva.

DimostrazioneModifica

(a) Si definisce

 

Usando la regola del prodotto, la regola della catena, la derivata della funzione esponenziale e il Teorema fondamentale del calcolo integrale, si ottiene per la derivata

 

dove si è usata la disuguaglianza integrale nell'ipotesi. Dato che   e l'esponenziale sono non negativi, questo da una stima superiore per la derivata di  . Siccome  , dall'integrazione di questa disuguaglianza da   a   si ricava

 

Usando la definizione di   dal passo precedente, insieme alla equazione funzionale dell'esponenzial, si ottiene

 

Sostituendo nella disuguaglianza integrale assunta nelle ipotesi si ha la disuguaglianza cercata.

(b) Se la funzione   è non decrescente, allora dalla parte (a), il fatto  , e il teorema fondamentale del calcolo implica che

 

Forma integrale per misure localmente finiteModifica

Sia   un intervallo della retta reale nella forma   o   o   con  . Siano   e   funzioni misurabili definite su   e sia   una misura non negativa definita sulla σ-algebra di Borel di   che soddisfa   per ogni   (questo è certamente soddisfatto quando   è una misura localmente finita). Si assuma che   è integrabile rispetto a   nel senso che

 

e che soddisfa la disuguaglianza integrale

 

Se, inoltre,

  • la funzione   è non negativa o
  • la funzione   è continua per   } e la funzione   è integrabile rispetto a   nel senso che
 

allora   soddisfa la seguente disuguaglianza

 

per ogni  , dove   indica l'intervallo aperto  .

OsservazioniModifica

  • Non ci sono ipotesi sulla continuità di   e  .
  • Il valore infinito è permesso nell'integrale della disuguaglianza.
  • Se   è la funzione zero e   è non negativo, allora la disuguaglianza di Grönwall implica che   è anch'essa la funzione zero.
  • L'integrabilità di   rispetto a   è essenziale per l'enunciato. Per un controesempio, sia   la misura di Lebesgue sull'intervallo unitario  , con  ,  per   e   la funzione zero.
  • La versione data nel testo di S. Ethier and T. Kurtz.[4] richiede le ipotesi più forti che   sia una costante non negativa e   sia limitata su intervalli limitati, ma non assume che   sia localmente finita. Comparato a quella data successivamente, la loro dimostrazione non discute il comportamento di  .

Casi specialiModifica

  • Se la misura   ha una densità   rispetto alla misura di Lebesgue, allora il lemma di Grönwall può essere riscritto come
 
  • Se la funzione   è non negativa e la densità   di   è limitata da una costante  , allora
 
  • Se, in aggiunta, la funzione non negativa   è non decrescente, allora
 

Schema della dimostrazioneModifica

La dimostrazione è divisa in tre passi. Un'idea è di sostituire   volte la disuguaglianza integrale in se stessa. Questo è fatto nella Affermazione 1 per induzione matematica. In Affermazione 2 si riscrive la misura del simplesso in una forma conveniente, usando l'invarianza sotto permutazioni delle misure prodotto. Nell'ultima parte, si prende   per derivare la variante desiderata della disuguaglianza di Grönwall.

Dimostrazione dettagliataModifica

Parte 1: iterare la disuguaglianzaModifica

Per ogni numero naturale   incluso lo zero,

 

con resto

 

dove

 

è un simplesso  -dimensionale e

 

Dimostrazione della prima parte: Si usa l'induzione matematica. Per   è la disuguaglianza integrale nelle ipotesi, perché la somma vuota è definita come zero.

Passo induttivo da   a  : Inserendo la disuguaglianza per   assunta per ipotesi nel resto si ha

 

con

 

Usando il teorema di Fubini per scambiare i due integrali, si ottiene

 

Quindi la disuguaglianza è dimostrata per  .

Parte 2: Misura del simplessoModifica

Per ogni numero naturale   incluso lo zero e tutti i   in  

 

con l'uguaglianza nel caso in cui   è continua per  .

Dimostrazione della seconda parte: Per  , l'enunciato è vero per definizione. Dunque, si considererà  .

Sia   l'insieme di tutte le permutazioni degli indici in  . Per ogni permutazione   si definisce

 

Questi insiemi sono disgiunti per differenti permutazioni e

 

Pertanto,

 

Dal momento che essi hanno la stesso misura rispetto a  -prodotti di  , e poiché ci sono   permutazioni in  , la disuguaglianza desiderata segue di conseguenza.

Si assuma ora che   sia continua per  . Allora, per differenti indici  , l'insieme

 

è contenuto in un iperpiano, quindi dall'applicazione del teorema di Fubini la sua misura rispetto ad   prodotti della misura è zero. Poiché

 

l'uguaglianza è dimostrata e la (2) segue di conseguenza.

Dimostrazione del Lemma di GrönwallModifica

Per ogni numero naturale  , (2) implica per il resto della (1) che

 

Per ipotesi si ha  . Ne segue che l'assunzione dell'integrabilità di   implica che

 

La seconda parte e la rappresentazione in serie della funzione esponenziale implica la stima

 

  in  . Se la funzione   è non negativa, allora è sufficiente inserire questi risultati nella (1) per derivare la variante della disuguaglianza di Grönwall ottenuta sopra per la funzione  .

Se   sia continua per   è continua per  , dalla (1) si ricava

 

e l'integrabilità della funzione   permette di usare il teorema della convergenza dominata per concludere la dimostrazione dell'enunciato.

NoteModifica

  1. ^ Thomas H. Gronwall, Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, in Ann. of Math., vol. 20, n. 2, 1919, pp. 292–296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, MR 1502565.
  2. ^ Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, in Duke Math. J., vol. 10, n. 4, 1943, pp. 643–647, DOI:10.1215/s0012-7094-43-01059-2, MR 0009408, Zbl 0061.18502.
  3. ^ B.G. Pachpatte, Inequalities for differential and integral equations, San Diego, Academic Press, 1998, ISBN 978-0-08-053464-0.
  4. ^ Steward N. Ethier e Thomas G. Kurtz, Markov Processes, Characterization and Convergence, New York, John Wiley & Sons, 1986, p. 498, ISBN 0-471-08186-8, MR 0838085, Zbl 0592.60049.

Voci correlateModifica