Rosa (topologia)

In matematica, una rosa (nota anche come bouquet o mazzo di n cerchi) è uno spazio topologico ottenuto incollando un insieme di ipersfere (o, in due dimensioni, cerchi) con un unico punto in comune. I cerchi della rosa si chiamano petali. Le rose sono importanti nella topologia algebrica, dove sono strettamente correlate ai gruppi liberi.

Una rosa con quattro petali.

Definizione

Il gruppo fondamentale della figura otto è il gruppo libero generato da a e b

Una rosa è un bouquet di ipersfere (o cerchi bidimensionali). In altre parole, la rosa è lo spazio quoziente $C/S$ dove $C$ è un'unione disgiunta di cerchi e $S$ un insieme costituito da un punto per ciascun cerchio. Essendo un complesso di celle, una rosa ha un singolo vertice e un bordo per ciascun cerchio. Questo lo rende un semplice esempio di grafo topologico.

Una rosa con n petali si può ottenere anche individuando n punti su un unico cerchio. La rosa con due petali è conosciuta come figura otto.

Relazione con i gruppi liberi

La copertura universale della figura otto può essere visualizzata dal grafo di Cayley del gruppo libero su due generatori a e b

Il gruppo fondamentale di una rosa è libero, con un generatore per ogni petalo. La copertura universale è un albero infinito, identificabile con il grafo di Cayley del gruppo libero. Questo è un caso speciale del complesso di presentazione associato a qualsiasi presentazione di un gruppo.

Le coperture intermedie della rosa corrispondono ai sottogruppi del gruppo libero. L’osservazione che ogni copertura di una rosa è un grafo fornisce una semplice prova che ogni sottogruppo di un gruppo libero è libero (teorema di Nielsen-Schreier)

Poiché la copertura universale di una rosa è contraibile, la rosa è in realtà uno spazio di Eilenberg-MacLane per il gruppo libero associato $F$. Ciò implica che i gruppi di coomologia $H^{n}(F)$ sono banali per $n\geq 2$.

Altre proprietà

Una figura otto nel toro.

• Qualsiasi grafo connesso è omotopicamente equivalente a una rosa. Nello specifico, la rosa è lo spazio quoziente del grafo ottenuto facendo collassare un albero ricoprente.
• Una palla con n punti rimossi (o una sfera con $n+1$ punti rimossi) si ritrae per deformazione su una rosa con n petali. Un petalo della rosa circonda ciascuno dei punti rimossi.
• Un toro con un punto rimosso si ritrae per deformazione in una figura otto, cioè l'unione di due cerchi generatori. Più in generale, una superficie del genere g a cui è stato rimosso un punto si ritrae per deformazione su una rosa con 2 petali g, cioè il confine di un poligono fondamentale.
• Una rosa può avere infiniti petali, dando origine ad un gruppo fondamentale che è libero su infiniti generatori. La rosa con infiniti petali numerabili è simile all'orecchino hawaiano: c'è una biiezione continua da questa rosa all'orecchino hawaiano, ma i due non sono omeomorfi. Una rosa con infiniti petali non è compatta, mentre l’orecchino hawaiano è compatto.

Bibliografia

• Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge university press, 2001, ISBN 978-0-521-79540-1.
• James Raymond Munkres, Topology, 2nd ed, Prentice Hall, 2000, ISBN 978-0-13-181629-9.
• John Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory, collana Graduate texts in mathematics, 2nd ed, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-97970-0.