Teoria delle categorie
La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.
Categorie
modificaDefinizione
modificaUna categoria consiste di quanto segue.
- Una classe i cui elementi sono chiamati oggetti.
- Una classe i cui elementi sono chiamati morfismi, mappe o frecce. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente e un unico oggetto destinazione in . La scrittura indica che è un morfismo con sorgente e destinazione . La classe dei morfismi da a è indicata con .
- Per ogni terna di oggetti , e di , è definita una funzione , chiamata composizione di morfismi. La composizione di con si indica con (talvolta si indica semplicemente ).
La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:
- (associatività) se , e , allora
- (identità) per ogni oggetto esiste un morfismo , chiamato morfismo identità su , tale che per ogni morfismo vale e per ogni morfismo si ha .
Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.
Una categoria si dice piccola se la classe dei morfismi (e quindi quella degli insiemi, in corrispondenza biunivoca coi morfismi identità come detto sopra) è un Insieme e grande altrimenti, ovvero se i morfismi formano una classe propria. Se per ogni coppia di oggetti in una categoria la classe dei morfismi tra di essi è un insieme, la categoria si dice localmente piccola (in particolare, ogni categoria piccola è localmente piccola). Molte importanti categorie sono grandi ma localmente piccole, come ad esempio la categoria degli insiemi e le funzioni tra di essi.
Esempi
modificaNegli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.
- Come sopra, gli insiemi e le funzioni tra essi
- I monoidi e gli omomorfismi tra essi
- I gruppi coi loro omomorfismi
- Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
- Gli spazi topologici e le funzioni continue
- Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
- Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili
- Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
- Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
- Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme diventa l'insieme ).
- Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: .
Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.
Tipi di morfismi
modificaUn morfismo f: A → B si chiama
- monomorfismo se per tutti i morfismi .
- epimorfismo se g1f = g2f implica g1 = g2 per tutti i morfismi g1, g2 : B → X.
- isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = idB e gf = idA.
- endomorfismo se A = B.
- automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.
Funtori
modificaI funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.
Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:
- ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
- ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)
in modo tale che valgano le seguenti proprietà:
- F(idX) = idF(X) per ogni oggetto X in C.
- F(g f) = F(g) F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.
Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C* a D è contravariante.
Trasformazioni e Isomorfismi naturali
modificaDue funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D. Una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F in quella che ne dà G.
Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo ηX : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo ηY F(f) = G(f) ηX; vale a dire che η rende commutativo il diagramma
I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che ηX sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.
Bibliografia
modifica- (EN) Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Abstract and Concrete Categories Archiviato il 21 aprile 2015 in Internet Archive., John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6
- (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra I. Basic Category Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1
- (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra II. Categories and Structures, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44179-X
- (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra III. Categories of Sheaves, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44180-3
- (EN) Robert Goldblatt (1984): Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover
- William Lawvere, Steve Schanuel (1994): Teoria delle categorie: un'introduzione alla matematica, Franco Muzzio
- (EN) William Lawvere, Steve Schanuel (1997): Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press
- (EN) Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician (seconda edizione), Springer ISBN 0-387-98403-8
- (EN) Michael Barr, Charles Wells (2002): Toposes, Triples and Theories
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla teoria delle categorie
Collegamenti esterni
modifica- Santuzza Baldassarri Ghezzo, CATEGORIE, Teoria delle, in Enciclopedia Italiana, IV Appendice, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1978.
- (EN) category theory, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Jean-Pierre Marquis, Category Theory, su Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- (EN) Eric W. Weisstein, Category Theory, su MathWorld, Wolfram Research.
- Note sulla teoria delle categorie[collegamento interrotto] (in inglese, file .ps compresso con Gzip)
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