Teoria delle categorie

La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie

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Definizione

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Una categoria   consiste di quanto segue.

  • Una classe   i cui elementi sono chiamati oggetti.
  • Una classe   i cui elementi sono chiamati morfismi, mappe o frecce. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente   e un unico oggetto destinazione   in  . La scrittura   indica che   è un morfismo con sorgente   e destinazione  . La classe dei morfismi da   a   è indicata con  .
  • Per ogni terna di oggetti  ,   e   di  , è definita una funzione  , chiamata composizione di morfismi. La composizione di   con   si indica con   (talvolta si indica semplicemente  ).

La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:

  • (associatività) se  ,   e  , allora  
  • (identità) per ogni oggetto   esiste un morfismo  , chiamato morfismo identità su  , tale che per ogni morfismo   vale   e per ogni morfismo   si ha  .

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe dei morfismi (e quindi quella degli insiemi, in corrispondenza biunivoca coi morfismi identità come detto sopra) è un Insieme e grande altrimenti, ovvero se i morfismi formano una classe propria. Se per ogni coppia di oggetti   in una categoria la classe dei morfismi   tra di essi è un insieme, la categoria si dice localmente piccola (in particolare, ogni categoria piccola è localmente piccola). Molte importanti categorie sono grandi ma localmente piccole, come ad esempio la categoria degli insiemi e le funzioni tra di essi.

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

  • Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto   (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
  • Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
  • Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale   che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme   diventa l'insieme  ).
  • Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente:  .

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi

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Un morfismo f: AB si chiama

  • monomorfismo se   per tutti i morfismi  .
  • epimorfismo se g1f = g2f implica g1 = g2 per tutti i morfismi g1, g2 : BX.
  • isomorfismo se esiste un morfismo g : BA con fg = idB e gf = idA.
  • endomorfismo se A = B.
  • automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Funtore (matematica).

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

  • ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
  • ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

  • F(idX) = idF(X) per ogni oggetto X in C.
  • F(g   f) = F(g)   F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali

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Due funtori F, G : CD ci danno due rappresentazioni di C in D. Una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F in quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo ηX : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : XY in C abbiamo ηY   F(f) = G(f)   ηX; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

 
Commutative diagram defining natural transformations

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che ηX sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia

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Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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