Toro (geometria)
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In geometria il toro, toroide (dal latino torus che indicava, fra le altre cose, un tipo di cuscino a forma di ciambella) o ciambella[1] è la superficie di un anello a sezione circolare in direzione radiale. Può essere ottenuta come superficie di rivoluzione, facendo ruotare una circonferenza, la generatrice, intorno ad un asse di rotazione appartenente allo stesso piano della generatrice, ma disgiunto da questa.
Il toro nella geometria euclideaModifica
Rappresentazione mediante equazioni parametricheModifica
Una rappresentazione parametrica del toro, nell'usuale spazio euclideo tridimensionale, è data da:
dove è la distanza dal centro del tubo al centro del toro, è il raggio del tubo e e variano in
L'equazione in coordinate cartesiane, che individua un toro il cui asse di simmetria coincide con l'asse è data da:
Proprietà metricheModifica
L'area esterna ed il volume del toro sono dati rispettivamente da:
I risultati derivano direttamente dai due teoremi di Pappo-Guldino.
Topologia del toroModifica
CostruzioneModifica
Un toro topologico è uno spazio topologico omeomorfo ad un toro nello spazio euclideo. Esso può essere definito come il prodotto di due circonferenze Le equazioni parametriche che abbiamo dato per il toro in individuano un omeomorfismo con l'insieme
Un modo equivalente per costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti. Questo corrisponde a definire sul quadrato
la relazione di equivalenza tale che se e solo se è un unico punto interno oppure e sono su due lati opposti ed hanno una coordinata uguale. Con questa relazione di equivalenza si può definire lo spazio quoziente che è appunto un toro topologico.
Un ulteriore modo per definire il toro topologico è quello di costruire lo spazio quoziente del rispetto al sottogruppo
Proprietà topologicheModifica
- Il toro è una superficie, quindi una varietà differenziabile di dimensione 2.
- Il toro è compatto, connesso, ma non semplicemente connesso. Infatti il suo gruppo fondamentale è .
- Il rivestimento universale del toro è omeomorfo a Quindi i gruppi di omotopia di grado maggiore di 1 del toro sono tutti banali.
- La caratteristica di Eulero del toro è zero.
- Il genere del toro è 1.
- Sul toro non valgono molti teoremi della geometria piana. Ad esempio, non vale il teorema dei quattro colori. Nel disegno a fianco il toro è stato diviso in sette regioni, a due a due tutte confinanti: quindi sono necessari sette colori diversi affinché due regioni confinanti non abbiano lo stesso colore. È stata dimostrata una generalizzazione del teorema dei quattro colori da cui consegue che sette colori sono sufficienti per colorare qualsiasi suddivisione del toro.
- Il toro, a meno di diffeomorfismi, è l'unica superficie compatta connessa orientabile su cui è possibile definire un campo vettoriale continuo senza punti critici (vedere varietà pettinabili).
Il toro solidoModifica
Il toro solido è l'oggetto tridimensionale delimitato dal toro (toro incluso). Si tratta cioè della porzione di spazio contenuta all'interno del toro inclusa la parte di spazio che la delimita. Topologicamente, si tratta di uno spazio omeomorfo al prodotto del disco bidimensionale
con la circonferenza . Si tratta di una 3-varietà con bordo; il bordo consiste appunto nel toro. Il suo gruppo fondamentale è Si tratta infine del corpo con manici avente genere 1.
Il toro solido è un oggetto importante nello studio delle 3-varietà e più in generale nella topologia della dimensione bassa.
Valenze simbolicheModifica
Nell'ambito di filosofie new age, il toroide viene spesso identificato come elemento di rinnovo energetico continuo[2] e vi si attribuiscono richiami nelle geometrie sacre dei popoli antichi,[3][4][5][6] non di rado con riferimenti che rasentano la pseudoscienza.
NoteModifica
- ^ (EN) ciambèlla, su treccani.it. URL consultato il 22 febbraio 2021.
- ^ alicecristallo.com "Sacred Geometry Art Studio" - "SIMBOLI - Toroide: Significato"
- ^ consapevoli.net - "La Teoria del Tutto di Nassim Haramein"
- ^ (EN) rationalwiki.org - "A community working together to explore and provide information about a range of topics centered around science, skepticism, and critical thinking" - "Nassim Haramein" page
- ^ ilsapere.org "La Magia Energetica del Nostro Cuore: il Toroide"
- ^ (EN) sciencebasedmedicine.org - "Energy Medicine – Noise-Based Pseudoscience" - Steven Novella on December 12, 2012
Voci correlateModifica
Altri progettiModifica
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul toro
Collegamenti esterniModifica
- Le sezioni circolari di un toro, su dhallewin.it.
- Torus Games: giochi (scaricabili gratuitamente) che illustrano la topologia del toro e della bottiglia di Klein, su geometrygames.org.
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