Trasformata di Cayley

In matematica, con trasformata di Cayley si identificano oggetti diversi.

La trasformata di Cayley è stata inizialmente introdotta da Arthur Cayley come una mappa tra lo spazio delle matrici antisimmetriche e quello delle matrici ortogonali speciali. In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme tale per cui l'immagine del semipiano complesso superiore è il disco unitario, mentre nella teoria degli spazi di Hilbert denota una trasformazione tra operatori lineari.

Mappa tra matriciModifica

Si consideri lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione   su  , e sia   una matrice antisimmetrica, cioè tale che  . La matrice  , dove   denota la funzione identità, è in tal caso invertibile.

Si definisce trasformata di Cayley la matrice ortogonale speciale   definita nel modo seguente:

 

Dal momento che la moltiplicazione fra matrici nella definizione è commutativa, la trasformata di Cayley può essere definita in modo equivalente come:

 

Viceversa, data una matrice ortogonale che non possiede -1 come autovalore, allora la matrice:

 

è antisimmetrica.

Mappa conformeModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Mappa conforme.
 
La trasformata di Cayley mappa il semipiano complesso superiore nel disco unitario.

In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme dal piano complesso in sé data da:

 

Si tratta di una trasformazione lineare fratta, e può essere estesa ad un automorfismo definito sulla sfera di Riemann.

Tale funzione gode delle seguenti proprietà:

  •   mappa il semipiano complesso superiore nel disco unitario.
  •   mappa in modo iniettivo la retta reale nel cerchio unitario.
  •   mappa in modo biunivoco il semiasse complesso   nell'intervallo  .
  •   mappa 0 in -1, -1 in  , il punto all'infinito in 1,   nel punto all'infinito.

Mappa tra spazi di HilbertModifica

Generalizzando i concetti di mappa matriciale e mappa sul piano complesso, si definisce su uno spazio di Hilbert la trasformata di Cayley per operatori lineari:

 

Tale funzione permette, in particolare, di definire la diagonalizzazione di operatori autoaggiunti non limitati attraverso una misura a valori di proiettore.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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