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Pacchetto d'onda

Voce pacchetto d'onda

Fenomeni di pacchetto d'onda

Pacchetti d'onda in un mezzo non dispersivo

Si vuole in questa sezione considerare il caso di una sorgente d'onde che emetta su frequenze comprese in un ben determinato intervallo: l'esempio più familiare di questo tipo di situazione può essere quello del Sole, visto dalla Terra. Si esamina perciò un pacchetto d'onde le cui frequenze angolri sono comprese tra due valori $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$, in cui le velocità delle singole componenti sono tutte uguali tra loro. Una semplificazione per semplificare i calcoli è quella di considerare onde che abbiano tutte la stessa ampiezza. L'n-esima o generica componente del pacchetto ha equazione

$E_{n}=E_{0}\,\cos(kz-\omega t+\phi (\omega ))$

con una certa fase che sarà dipendente dalla frequenza angolare. Si ha la necessità di capire come tutte le onde dell'intervallo interagiscano: per ottenere la risultante è necessario sfruttare l'integrale normalizzato

$E={\frac {E_{0}}{\omega _{2}-\omega _{1}}}\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}\cos(kz-\omega t)\,d\omega \,.$

A questo punto viene effettuata una seconda semplificazione: la fase viene considerata nulla, scelta che si rivelerà comoda nel seguito della trattazione. Ponendo $\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$ e poiché la velocità della luce $c=\omega /k$

$E={\frac {E_{0}}{\Delta \omega }}\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}\cos \left({\frac {\omega }{c}}z-\omega t\right)\,d\omega \,=$

$\,={\frac {E_{0}}{\Delta \omega }}\left[{\frac {\sin \left({\frac {\omega }{c}}z-\omega t\right)}{{\frac {z}{c}}-t}}\right]_{\omega _{1}}^{\omega _{2}}\,=\,{\frac {E_{0}}{\Delta \omega \left({\frac {z}{c}}-t\right)}}\left[\sin \left({\frac {\omega _{2}}{c}}z-\omega _{2}t\right)-\left({\frac {\omega _{1}}{c}}z-\omega _{1}t\right)\right]\,.$

Applicando la prostaferesi e ponendo $\Delta k=k_{2}-k_{1}$:

$E={\frac {2E_{0}}{\Delta k\,z-\Delta \omega \,t}}\sin \left({\frac {k_{2}-k_{1}}{2}}z-{\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{2}}t\right)\cos \left({\frac {k_{2}+k_{1}}{2}}z-{\frac {\omega _{2}+\omega _{1}}{2}}t\right)\,.$

Ora ponendo ${\overline {k}}={\frac {k_{2}+k_{1}}{2}}$ e ${\overline {\omega }}={\frac {\omega _{2}+\omega _{1}}{2}}$

$E={\frac {2E_{0}}{\Delta k\,z-\Delta \omega \,t}}\sin \left({\frac {\Delta k}{2}}z-{\frac {\Delta \omega }{2}}t\right)\cos \left({\overline {k}}z-{\overline {\omega }}t\right)$

da cui l'equazione generale del pacchetto d'onda è

$E=E_{0}\cos \left({\overline {k}}z-{\overline {\omega }}t\right){\frac {\sin \left({\frac {\Delta k}{2}}z-{\frac {\Delta \omega }{2}}t\right)}{{\frac {\Delta k}{2}}z-{\frac {\Delta \omega }{2}}t}}\quad {\mbox{in cui}}\quad {\begin{cases}E_{\mathrm {portante} }=E_{0}\cos \left({\overline {k}}z-{\overline {\omega }}t\right)\\E_{\mathrm {modulante} }={\frac {\sin \left({\frac {\Delta k}{2}}z-{\frac {\Delta \omega }{2}}t\right)}{{\frac {\Delta k}{2}}z-{\frac {\Delta \omega }{2}}t}}\end{cases}}\;.$

La modulante è della forma ${\frac {\sin f(x)}{f(x)}}$: ecco che si rivela utile aver posto la fase nulla. In questo modo il massimo della curva ha ascissa nell'origine del sistema di riferimento cartesiano e ordinata pari a $E_{0}$ sia che si esamini la variabile spaziale sia che si consideri quella temporale. Si tratta ora di cercare quando l'inviluppo della funzione è significativamente diverso da 0.

Al tempo $t=0$ i minimi della funzione si avranno in

${\frac {\Delta k}{2}}=n\,\pi {\mbox{ con }}n\in \mathbb {Z}$

e a questo punto è bene considerare come significativo il solo inviluppo centrale, tale cioè che $n=\pm 1$ per una lunghezza totale dell'intervallo che è $2\,{\frac {2\pi }{\Delta k}}$. Vale lo stesso ragionamento anche per $z=0$, in cui

${\frac {\Delta \omega }{2}}=n\,\pi {\mbox{ con }}n\in \mathbb {Z} \,.$

In definitiva, è possibile definire un tempo di coerenza e una lunghezza di coerenza che comprendano tutti quei punti dell'onda che sono significativamente diversi dallo 0. Si possono così dedurre le relazioni di indeterminazione per il pacchetto d'onda in un mezzo non dispersivo

${\begin{cases}l_{c}\,\Delta k\approx 4\pi \\t_{c}\,\Delta \omega \approx 4\pi \end{cases}}\;.$

Il caso perticolare della luce monocromatica è incluso nel pacchetto d'onda quando si consideri

${\begin{cases}\Delta k=0\\\Delta \omega =0\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}l_{c}\rightarrow \infty \\t_{c}\rightarrow \infty \end{cases}}$

cioè il pacchetto ha ondulamenti così ampi che è piatto. Per un impulso breve invece

${\begin{cases}l_{c}\rightarrow 0\\t_{c}\rightarrow 0\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}\Delta k\rightarrow \infty \\\Delta \omega \rightarrow \infty \end{cases}}\,.$

Qui invece il pacchetto contiene tutto lo spettro di frequenze comprese tra $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$.

Il laser ha una $l_{c}\approx 5{\mbox{ km}}$ e può quindi dirsi una luce coerente. Il caso della luce bianca $\Delta \nu \approx 4\times 10^{-4}{\mbox{ Hz}}\,.$ Quindi $t_{c}\approx 5\times 10^{-15}{\mbox{s}}$ e $l_{c}\approx 1.5\times 10^{-6}{\mbox{m}}\approx 3\lambda$.

Pacchtti d'onda in un mezzo dispersivo

Quando si analizza la somma delle onde luminose comprese in un certo intervallo di frequenze, ma che propagano in un mezzo dispersivo, non si possono più considerare le velocità delle componenti uguali: in questo caso a rimanere costante è la sola velocità angolare $\omega$; si vuole, invece, studiare proprio la velocità risultante del pacchetto d'onda. Sarà perciò $k$ a dipendere da $\omega$ e si ha la necessità di studiare l'andamento di questa variabile. Per $\omega _{2}-\omega _{1}<<{\overline {\omega }}$ è possibile approssimarne l'andamento con un polinomio di Taylor troncato al primo ordine:

$\kappa (\omega )=\kappa ({\overline {\omega }})+{\frac {d\kappa }{d\omega }}(\omega -{\overline {\omega }})+o\left(\omega -{\overline {\omega }}\right)$

e poi fare l'integrale della nuova funzione, detta relazione di dispersione, $\kappa (\omega )$ dove però $\kappa =n\,k_{0}$ in quanto stiamo propagando in un mezzo diverso dal vuoto e dunque questa relazione può dichiararsi valida per un determinato coefficiente $n$ dipendente dal mezzo (è il coefficiente di rifrazione della legge di Snell). Ove si ponga ${\overline {\kappa }}=\kappa ({\overline {\omega }})\,:$

$E={\frac {E_{0}}{\Delta \omega }}\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}\cos(\kappa z-\omega t)\,d\omega =$

$={\frac {E_{0}}{\Delta \omega }}\left[{\frac {\sin \left({\overline {\kappa }}z+{\frac {d\kappa }{d\omega }}(\omega -{\overline {\omega }})z-\omega t\right)}{\Delta \kappa z-t}}\right]_{\omega _{1}}^{\omega _{2}}=$

$={\frac {E_{0}\left[\sin \left({\overline {\kappa }}z+{\frac {d\kappa }{d\omega }}(\omega _{2}-{\overline {\omega }})z-\omega _{2}t\right)-\sin \left({\overline {\kappa }}z+{\frac {d\kappa }{d\omega }}(\omega _{1}-{\overline {\omega }})z-\omega _{1}t\right)\right]}{\Delta \kappa z-\Delta \omega t}}\,.$

Si è ottenuta una forma molto simile alla precedente per il mezzo non dispersivo in cui

$\Delta \kappa =\Delta \omega {\frac {d\kappa }{d\omega }}=\kappa _{2}-\kappa _{1}\;,\;{\overline {\kappa }}={\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}\,.$

$E=E_{0}\cos({\overline {\kappa }}z-{\overline {\omega }}t){\frac {\sin \left({\frac {\Delta \kappa z-\Delta \omega t}{2}}\right)}{\frac {\Delta \kappa z-\Delta \omega t}{2}}}\,.$

Anche in questo caso esiste la possibilità di stabilire un legame con le relazioni di indeterminazione di cui sopra:

${\begin{cases}\kappa _{1}=n_{1}\,k_{1}\\\kappa _{2}=n_{2}\,k_{2}\end{cases}}\;\Rightarrow \;\Delta \kappa =n_{2}\,k_{2}-n_{1}\,k_{1}\;\Rightarrow \;v_{g}={\frac {\Delta \omega }{\Delta \kappa }}={\frac {\Delta \omega }{n_{2}\,k_{2}-n_{1}\,k_{1}}}\not ={\frac {\Delta \omega }{n\Delta k}}$

ed è qui che entrano in gioco le relazioni di indeterminazione: poiché

${\begin{cases}l_{c}\,\Delta \kappa \approx 4\pi \\t_{c}\,\Delta \omega \approx 4\pi \end{cases}}\quad \Rightarrow \quad v_{g}={\frac {l_{c}}{t_{c}}}\,.$

Velocità del pacchetto d'onda

La particolare espressione del pacchetto d'onda dà la possibilità di definire due velocità di propagazione del pacchetto: una per la modulante e una per la portante.

Mezzo non dispersivo

È ora possibile studiare più in dettaglio questa particolare configurazione del pacchetto d'onda. Si può introdurre subito la velocità di fase del pacchetto d'onda

$v_{f}={\frac {\overline {\omega }}{\overline {\kappa }}}={\frac {c}{\overline {n}}}$

dove i termini del rapporto sono definiti come per il pacchetto d'onda nel mezzo non dispersivo; ma altresì è possibile analizzare il termine

$\Delta \kappa \,z-\Delta \omega \,t=\Delta \kappa \left(z-{\frac {\Delta \omega }{\Delta \kappa }}t\right)\,.$

Da quest'ultimo compare quella che viene definita velocità di gruppo:

$v_{g}={\frac {\Delta \omega }{\Delta \kappa }}\,.$

Queste due velocità sono da abbinare rispettivamente alla portante e alla modulante e vale

$v_{g}<v_{f}\,.$

Interferenza (fisica)

Voce interferenza.

Interferenza per fenditure

In questa trattazione non si tiene conto degli effetti dovuti alla diffrazione (fisica).

Esperienza delle due fenditure

Un fronte d'onda, emesso da una sorgente di luce monocromatica, che sul suo percorso incontri una barriera opaca in cui sono stati praticati due o più fori (in questa trattazione di forma rettangolare, stretta e lunga, con lunghezza molto maggiore rispetto alla larghezza), genera una figura di interferenza su uno schermo posto al di là della barriera. In questa sezione si considera il caso di due fenditure: la loro larghezza $d\ll \lambda$ lunghezza d'onda della luce incidente. Inoltre, sia la sorgente di luce che lo schermo sono molto distanti dalla barriera (condizione di campo lontano o far field). Ultima caratteristica: la distanza tra le due fenditure $a\ll d$. Quando il fronte d'onda proveniente dalla sorgente primaria incide sulla barriera in modo normale rispetto ad essa grazie alle condizioni di campo lontano e per il principio di Huygens-Fresnel le due fenditure si comportano come nuove sorgenti che generano onde coerenti, così è possibile studiare come si propaga la luce partendo dai due fori.

Quello che interessa ai fini della trattazione è come si distribuisce l'intensità luminosa sullo schermo e quindi capire se è uniforme oppure varia da uno o più massimi a uno o più minimi. Va subito notato che ad ogni punto dello schermo possono essere associate due distanze, una per ogni sorgente, e che queste non sono in generale uguali: lo sono infatti solo per quel punto che giace nel piano a metà strada tra le due fenditure. Una semplificazione che sarà utile in seguito deriva direttamente dalla condizione di campo lontano: nei pressi delle due fenditure la distanza tra i cammini $r_{1},r_{2}$ è praticamente costante e quindi le loro direzioni sono, in buona approssimazione, parallele. Inoltre, se consideriamo i reciproci dei percorsi

${\frac {1}{r_{1}}}\approx {\frac {1}{r_{2}}}\approx {\frac {1}{r}}\,.$

Schema semplificato di apparato con doppia fenditura e differenza di cammino tra i due percorsi.

Possiamo, tuttavia, quantificare la differenza di cammino tra le sorgenti e lo schermo perché

$|r_{1}-r_{2}|=a\,\sin \theta$

dove $\theta$ è l'angolo compreso tra $r_{2}$ e il piano passante per il centro dell'apparato. Prendendo ora in considerazione le equazioni che descrivono l'andamento del campo elettrico dei due fasci che partono dalle fenditure (soluzioni dell'equazione di d'Alembert), si ha:

$E_{1}=E_{0}\cos(kr_{1}-\omega t)\qquad E_{2}=E_{0}\cos(kr_{2}-\omega t)$

con $k$ numero d'onda e $\omega$ pulsazione. Queste due onde vanno sommate, poi tramite le formule di prostaferesi si ottengono due fattori da cui sarà più facile estrapolare un valore di distribuzione dell'intensità. Poniamo di condurre la somma in condizione $t=0$.

$E=E_{0}\left[\cos(kr_{1})+\cos(kr_{2})\right]=2E_{0}\cos {\frac {k(r_{1}+r_{2})}{2}}\cos {\frac {k(r_{1}-r_{2})}{2}}=$

Per le approssimazioni sopra esaminate per i raggi

${\overline {r}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\quad \Rightarrow \quad \cos {\frac {k(r_{1}+r_{2})}{2}}=\cos(k{\overline {r}})\approx \cos(kr_{1})\quad \Rightarrow \quad E_{0}\cos {\frac {k(r_{1}+r_{2})}{2}}\approx E_{1}$

resta dunque da analizzare il secondo fattore. Ma l'intensità è direttamente proporzionale al quadrato dell'ampiezza.

$I_{1}\propto E_{1}^{2}\,,\,I\propto E^{2}\quad \Rightarrow \quad I=4I_{1}\cos ^{2}{\frac {ka\sin \theta }{2}}\,.$

Applicando la relazione

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}\quad \Rightarrow \quad \delta ={\frac {ka\sin \theta }{2}}={\frac {2\pi a\sin \theta }{\lambda }}$

è possibile determinare i massimi e i minimi della funzione $\sin ^{2}\delta$.

La condizione di massimo si ottiene per

$\delta =m\pi \quad \Rightarrow \quad \sin \theta ={\frac {m\lambda }{a}}\qquad m=0,\pm 1,\pm 2,...$

quindi la differenza di distanza dalle sorgenti per tutti i punti dello schermo in cui l'intensità è massima corrisponde ad un multiplo intero della lunghezza d'onda. Qui si ha interferenza costruttiva. Il numero di massimi visibili deriva dalla limitatezza del seno:

$-1\leq \sin \theta \leq 1\quad \Rightarrow \quad -{\frac {a}{\lambda }}\leq m\leq {\frac {a}{\lambda }}\,.$

I minimi sono individuati da

$\delta =(2m+1){\frac {\pi }{2}}\quad \Rightarrow \quad \sin \theta ={\frac {(2m+1)\lambda }{2a}}\qquad m=0,\pm 1,\pm 2,...$

e l'interferenza è distruttiva.

In conclusione, la distribuzione dell'intensità sullo schermo non è uniforme, ma avviene in fasce chiare e scure alternate. Questa ridistribuzione dell'intensità rispetta il principio di conservazione dell'energia. Si può anche calcolare lo spessore delle fasce, che in questo caso è uguale per tutte: se indichiamo con $L$ la distanza tra la barriera e lo schermo, dalle considerazioni di cui sopra $L\gg a$. Se $x$ è la distanza di un generico punto dello schermo, calcolata a partire dal piano ortogonale alla barriera e passante per il punto medio della distanza tra le due fenditure, sfruttando le relazioni valide, come in questo caso, per piccoli angoli,

$\theta \approx \sin \theta \approx \tan \theta \qquad {\mbox{e}}\qquad x=L\tan \theta \quad \Rightarrow \quad x\approx L\theta$

risulta

$\Delta x={\frac {\lambda L}{2a}}\quad \Rightarrow \quad \Delta \theta ={\frac {\lambda }{2a}}\,.$

Estensione a N fenditure

Dall'esperimento precedente è ora possibile un'estensione a N fenditure, di ampiezza $a$ e distanza reciproca $d$. Il metodo che qui utilizzeremo è quello dei fasori, più comodo quando si tratta di sommare i contributi di più di due sorgenti (il caso $N=2$ può essere naturalmente ricondotto a questo metodo). Si ricorda che il fasore è un vettore di modulo $E$ che ruota attorno ad un punto in senso antiorario (per convenzione) con velocità angolare $\omega$: esso riassume pertanto le caratteristiche di un moto armonico ed è quindi un utile strumento matematico per descriverlo.

Consideriamo, per il momento, cosa succede ai raggi di luce provenienti da due fenditure affiancate: la situazione è proprio quella di un caso a due fenditure, quindi le differenze nei cammini danno differenza di fase

$\delta ={\frac {2\pi a\sin \theta }{\lambda }}$

quindi, ogni fasore è inclinato rispetto al precedente di $\delta$. Sommando, il risultato è una poligonale e per le proprietà elementari della geometria piana è possibile calcolare

$E_{1}=2R\,\sin {\frac {\delta }{2}}\quad ,\quad E_{P}=2R\,\sin {\frac {N\delta }{2}}$

da cui, operando una sostituzione, si ottiene

$E_{P}=E_{1}\,{\frac {\sin {\frac {N\delta }{2}}}{\sin {\frac {\delta }{2}}}}$

da cui si ricava la formula per la distribuzione di intensità

$I=I_{1}\left({\frac {\sin {\frac {N\delta }{2}}}{\sin {\frac {\delta }{2}}}}\right)^{2}\,.$

Per trovare i massimi di questa funzione, prima di porre semplicemente il numeratore uguale a multipli di $\pi /2$, ricorriamo al teorema di de l'Hôpital, dopo aver scelto di far tendere il limite ad un multiplo intero di $\pi$:

$\lim _{x\rightarrow m\pi }{\frac {\sin(Nx)}{\sin x}}=\lim _{x\rightarrow m\pi }{\frac {N\cos x}{\cos x}}=N$

ottenendo così la condizione per i massimi principali di intensità

$\delta =m\pi \quad \Rightarrow \quad \sin \theta ={\frac {m\lambda }{a}}\;,\quad m=0,\pm 1,\pm 2,...$

condizione indipendente dal numero di fenditure. Per i minimi, invece, si sceglie di far annullare il numeratore escludendo, però, i multipli interi di N, altrimenti si ritorna nella condizione di massimo:

${\frac {N\delta }{2}}=m^{\prime }\pi \quad \Rightarrow \quad \sin \theta ={\frac {m^{\prime }\lambda }{Na}}\;,\quad m^{\prime }\not =mN\,.$

rimangono solo i massimi secondari da analizzare, quindi

${\frac {N\delta }{2}}=(2m^{\prime \prime }+1){\frac {\pi }{2}}\quad \Rightarrow \quad \sin \theta =(2m^{\prime \prime }+1){\frac {\lambda }{2Na}}\;,\quad m^{\prime \prime }=1,2,...,N-2,N+1,...,2N-2,2N+1,...$

dove le condizioni sulla $m^{\prime \prime }$ sono ricavate per evitare che si ricada in uno dei due casi precedenti.

Effetti di diffrazione

Anche gli effetti provocati da un tipo particolare di interferenza, la diffrazione, condizionano il numero di massimi osservabili. Infatti la presenza di una sola fenditura sul cammino di un fronte d'onda fa apparire sullo schermo figure di interferenza, dunque, in un apparato con più fenditure, non solo c'è effetto interferenziale dovuto all'interazione reciproca tra una fenditura e le altre, ma anche quello indotto da ciascuna singola fenditura. Risulta così che i due comportamenti si combinino.

La condizione di massimo di intensità per due fenditure adiacenti è

$\sin \theta ={\frac {m\lambda }{a}}\qquad m=0,\pm 1,\pm 2,...$

invece, la condizione di minimo di intensità per la singola fenditura è

$\sin \theta ={\frac {m\lambda }{d}}\qquad m=0,\pm 1,\pm 2,...$

del tutto simile tranne che per lo scambio tra ampiezza della fenditura e distanza tra due fenditure. Il primo massimo assente si ottiene per combinazione delle due formule:

$m^{*}={\frac {a}{d}}\,.$

Teorema delle contrazioni

Voce teorema delle contrazioni

Definizione di contrazione

Siano $(X,d)$ uno spazio metrico, $x,y\in X$ e $T:X\rightarrow X$ un'applicazione. $T$ è una contrazione su $X$ se esiste un numero reale $0\leq k<1$ tale che

$d(Tx,Ty)\leq k\;d(x,y)\,.$

È bene notare che una tale applicazione è uniformemente continua su $X$: infatti, per ogni $\varepsilon >0,\;x,y\in X$ esiste $\delta >0$ tale che

$d(x,y)<\delta \quad \Rightarrow \quad d(Tx,Ty)<k\;\delta \,.$

È sufficiente porre $\delta =\varepsilon /k$ per ottenere la definizione di uniforme continuità.

Contrazioni e lipschitzinità

Negli spazi metrici $(X,d)$, una contrazione non è che un caso particolare di applicazione lipschitziana: sia infatti $T$ tale che esista un numero reale $\Lambda >0$ per cui valga per ogni $x,y\in X$

$d(Tx,Ty)\leq \Lambda \;d(x,y)\,.$

Il teorema

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia $T:X\rightarrow X$ una contrazione su $X$ per ogni $x,y\in X$. Allora la mappa $T$ ammette uno e un solo punto fisso $x^{*}\in X$ (questo significa $Tx^{*}\,=\,x^{*}$).

Dimostrazione. La dimostrazione si articola in due parti. Iniziamo ad occuparci della esistenza, poi ricaveremo l'unicità.

Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:

$x_{1}=Tx_{0}\,,\quad x_{2}=Tx_{1}\,,\quad ...\,,\quad x_{n}=Tx_{n-1}\,.$

Sfruttiamo la metrica $d$ e la proprietà di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi $x_{n-1},x_{n}$:

$d(x_{n-1},x_{n})=d(Tx_{n-1},Tx_{n})\leq k\;d(x_{n-1},x_{n})=k\;d(Tx_{n-2},Tx_{n-3})\leq$

$\leq k^{2}\;d(x_{n-2},x_{n-3})\leq ...\leq k^{n}\;d(x_{0},x_{1})\,.$

Prendiamo due numeri $m\,,n\in \mathbb {N}$ tali che $m\leq n$: attraverso la disuguaglianza triangolare e la proprietà di cui sopra

$d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{n-1})+d(x_{n-1},x_{m})\leq \sum _{i=m}^{n-1}d(x_{i},x_{i+1})\leq d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=m}^{n-1}k^{i}=$

$=d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=0}^{n-m-1}k^{i+m}=k^{m}\;d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=0}^{n-m-1}k^{i}\,.$

Per $n\rightarrow \infty$, l'ultima è una serie geometrica che converge perché il termine generale è compreso tra 0 e 1, quindi

$d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{0},x_{1})\;{\frac {k^{m}}{1-k}}\;\rightarrow \;0\qquad \mathrm {per} \qquad m\rightarrow \infty$

ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio $X$, la quale garantisce l'esistenza di

$x^{*}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$

Poiché la $T$ è un'applicazione uniformemente continua, vale

$Tx^{*}=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}=x^{*}\,.$

L'unicità si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto $y*$ tale che $Ty^{*}=y^{*}$

$d(x^{*},y^{*})\leq d(Tx^{*},Ty^{*})\leq k\;d(x^{*},y^{*})\quad \Rightarrow \quad k\geq 1$

che contraddice le ipotesi di partenza.

Energia cinetica

Voce Energia cinetica.

Energia cinetica generalizzata

In meccanica analitica (non relativistica) è possibile estendere il concetto di energia cinetica, mantenendo al contempo inalterato il suo peculiare aspetto di funzione dipendente dal modulo quadrato della velocità.

Per fare questo, è necessario passare dalle consuete coordinate cartesiane ad un sistema generico di coordinate: siano dunque

$\mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{n}(t))$

le coordinate generalizzate, tutte dipendenti dal tempo. Queste coordinate individuano la posizione di una singola particella (punto materiale) in uno spazio $n$-dimensionale (solitamente in fisica le dimensioni sono 1, 2 o 3): formalizzando il concetto, si definisce la funzione

$\mathbf {q} :\mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,$

che cioè manda un numero reale in quello che viene chiamato lo spazio delle configurazioni e che descrive le traiettoria della particella in tale spazio. È bene notare che non si sta parlando di traiettorie della particella nello spaziotempo, bensì nello spazio delle configurazioni. Un cambiamento di coordinate è allora una funzione

$\mathbf {x} :{\mathcal {C}}\times \mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,\qquad \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {q} (t),t)$

in generale dipendente sia dal vettore posizione che dal tempo, con particolari caratteristiche (un diffeomorfismo), che esprime la relazione esistente tra le vecchie coordinate e le nuove.

Introduciamo l'energia cinetica

$T(v^{2})={\frac {m}{2}}v^{2}$

che a questo punto ha una forma diversa rispetto a quella solitamente usata: la differenza discende dalla nuova forma che assume la velocità, che sebbene sia come al solito definita da

$\mathbf {v} ={\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}\,,$

stavolta è una funzione composta, dunque

$\mathbf {v} (\mathbf {q} (t),t)={\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}(\mathbf {q} (t),t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}(\mathbf {q} (t),t)\cdot {\dot {q}}_{i}(t)+{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}(\mathbf {q} (t),t)\,.$

Calcolando esplicitamente l'energia cinetica grazie alle proprietà di linearità e simmetria del prodotto scalare standard, si ha

${\begin{aligned}T&={\frac {m}{2}}\langle \mathbf {v} \,,\mathbf {v} \rangle ={\frac {m}{2}}\left\{\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\cdot {\dot {q}}_{j}\right\rangle +2\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \right\}\\&={\frac {m}{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle {\dot {q}}_{j}+2\sum _{i=1}^{n}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle {\dot {q}}_{i}+\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\right\}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,a_{ij}\,{\dot {q}}_{j}+2\,\sum _{i=1}^{n}b_{i}\,{\dot {q}}_{i}+c\,.\end{aligned}}$

Abbiamo così ottenuto una forma quadratica operando le sostituzioni

$a_{ij}={\frac {m}{2}}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle \,,\quad b_{i}={\frac {m}{2}}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \,,\quad c={\frac {m}{2}}\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\,.$

Il risultato è davvero notevole se si pensa alla generalità da cui si è partiti nella trattazione: è bastato fornire alcune condizioni di regolarità (di norma verificate nel caso di condizioni fisiche) per ottenere una formula che amplia quella di uso comune. Nel caso in cui si tratti di particella libera, perciò, possiamo scrivere immediatamente la lagrangiana:

${\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,a_{ij}\,{\dot {q}}_{j}+2\,\sum _{i=1}^{n}b_{i}\,{\dot {q}}_{i}+c\,,$

mentre l'eventuale presenza di potenziale $V$ dipendente dalla sola posizione, non fa altro che aggiungere un termine:

${\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,a_{ij}\,{\dot {q}}_{j}+2\,\sum _{i=1}^{n}b_{i}\,{\dot {q}}_{i}+c-V(\mathbf {q} )\,.$

Un'altra caratteristica interessante discende dal considerare cambiamenti di coordinate indipendenti dal tempo: in questi casi l'energia cinetica diventa semplicemente un caso particolare di quella già trovata sopra

$T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,a_{ij}\,{\dot {q}}_{j}\,,$

ma dato che i versori coordinati dello spazio delle configurazioni sono per definizione

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\,,\;\forall \,i=1,2,\ldots ,n\,,$

i coefficienti $a_{ij}$ costituiscono una matrice quadrata che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base coordinata scelta.

La naturale estensione ad un sistema costituito da più punti viene eseguita assegnando ad ognuno di essi un vettore velocità ed un vettore posizione: quindi per $k$ particelle libere vengono prodotti $2k$ vettori, ciascuno di $n$ coordinate e poi si procede come si è fatto per la particella singola, ottenendo il risultato che l'energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle singole particelle:

$T=\sum _{i=1}^{k}T_{i}\,.$