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L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

  • consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
  • consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero tale che );
  • consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono biglietti, allora il profitto sarà euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono e .

Un'equazione è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: . Essi sono detti soluzioni o zeri dell'equazione.

Esempi di equazioniModifica

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

 

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della  . Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo

 

e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione

 

Equazioni come

 

sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

 

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

 
 

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

 
 

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

 

In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

 

Sostituiamo 2 al posto di x.

 

Semplifichiamo

 
 

E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).

Leggi di algebra elementare (su un campo)Modifica

 
  • La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
    • La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
    • Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:
 
  • Se ab = 0, allora a = 0 o b = 0 (legge di annullamento del prodotto).
  • L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
    • L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
      • Esempi: se   allora  . Se   allora  .
    • La radice quadrata di -1 è i.
  • La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:  .
  • La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione:  .
  • Come combinare gli esponenti:  .
  • Se a = b e b = c, allora   (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
  •   (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
  • Se   allora   (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
  • Se   e   allora  .
    • Se   allora   per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
  • Se   e   allora   =  .
    • Se   allora   per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
  • Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
  • Se   e   allora   (transitività della disuguaglianza).
  • Se   allora   per ogni c.
  • Se   e   allora  .
  • Se   e   allora  .

Voci correlateModifica

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