Distribuzione chi quadrato non centrale

In teoria delle probabilità una distribuzione $\chi ^{2}$ non centrale (chi quadrato, o chi quadro), è una distribuzione di probabilità che generalizza la distribuzione $\chi ^{2}$, descrivendo la somma dei quadrati di variabili aleatorie con distribuzioni normali ridotte ma non centrate.

distribuzione $\chi ^{2}$ non centrale
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\$ (gradi di libertà) $\lambda \geqslant 0\$ non centralità
Supporto	$x\in [0,\infty [$
Funzione di densità	${\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$
Funzione di ripartizione	$\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma (j+k/2,x/2)}{\Gamma (j+k/2)}}$
Valore atteso	$k+\lambda$
Varianza	$2(k+2\lambda )$
Indice di asimmetria	${\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}$
Curtosi	${\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}$ per $2t<1$
Funzione caratteristica	${\frac {e^{i\lambda t/(1-2it)}}{(1-2it)^{k/2}}}$

In statistica viene impiegata per l'analisi della varianza e per alcuni test di verifica d'ipotesi.

Definizione

La distribuzione $\chi ^{2}(k,\lambda )$ descrive la variabile aleatoria

$\textstyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}=X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2}$,

dove $X_{1},...,X_{k}$ sono variabili aleatorie variabili indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte (ma non necessariamente centrate) ${\mathcal {N}}(\mu _{1},1),...,{\mathcal {N}}(\mu _{k},1)$, i cui valori attesi soddisfano

$\textstyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}$.

Il parametro k è detto numero di gradi di libertà e $\lambda$ è il parametro di non centralità. (La notazione per $\lambda$ non è uniforme: alcuni autori prendono $\lambda$ pari alla metà, oppure alla radice quadrata di questa somma.)

In particolare, per $\lambda =0$ le variabili $X_{i}$ sono centrate e si ottiene nuovamente la distribuzione χ²:

$\chi ^{2}(k,0)=\chi ^{2}(k)\$

È possibile definire la distribuzione χ² non centrale anche tramite variabili aleatorie indipendenti $Y_{1},...,Y_{i}$ di distribuzione normale standard ${\mathcal {N}}(0,1)$, prendendo $X_{i}=Y_{i}+\mu _{i}$, ovvero

$\textstyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}(Y_{i}+\mu _{i})^{2}\$.

Indipendenza di λ

La distribuzione $\chi ^{2}(k,\lambda )$ dipende da λ e non dai singoli valori μ_i.

Sullo spazio euclideo di dimensione k, infatti, si possono considerare i vettori

${\bar {X}}=(X_{1},\ \ldots ,\ X_{k})=(Y_{1},\ \ldots ,\ Y_{k})+(\mu _{1},\ldots ,\ \mu _{k})={\bar {Y}}+{\bar {\mu }}$;

la distribuzione di probabilità del vettore normale multivariato ${\bar {Y}}$ è isotropa, ovvero invariante per isometria. In particolare la variabile aleatoria $X^{2}$, che è il quadrato della norma di ${\bar {X}}={\bar {Y}}+{\bar {\mu }}$, dipende dalle $\mu _{i}$ solo in termini della norma di $(\mu _{1},...,\mu _{k})$, ovvero ${\sqrt {\lambda }}$.

Proprietà

Somma

Per definizione, la somma di variabili aleatorie di distribuzioni χ² non centrali è ancora una variabile aleatoria di distribuzione χ² non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).

Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie con distribuzioni $\chi ^{2}(k',\lambda ')$ e $\chi ^{2}(k'',\lambda '')$ è una variabile aleatoria con distribuzione $\chi ^{2}(k,\lambda )$, con $k=k'+k''$ e $\lambda ^{2}=\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}$.

Mistura di distribuzioni χ²

La distribuzione χ² non centrale può essere espressa come mistura di distribuzioni χ², pesate secondo la distribuzione di Poisson.

In altri termini è la distribuzione di una variabile aleatoria Z, dipendente da una variabile aleatoria J di legge di Poisson ${\mathcal {P}}(\lambda /2)$, con distribuzione condizionata di Z rispetto a J data da $\chi ^{2}(k+2J)$.

In particolare di χ²(k,λ) si possono descrivere

la densità di probabilità $f_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{j}}{j!}}f_{k+2j,0}(x),$

e la funzione di ripartizione $F_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}F_{k+2j,0}$

tramite la densità di probabilità $f_{k+2j,0}$ e la funzione di ripartizione $F_{k+2j,0}$ delle distribuzioni χ²(k+2j).

Caratteristiche

La funzione generatrice dei momenti della distribuzione χ²(k,λ) non centrale è

$g(t)=E[e^{t}Z]={\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}$

I primi momenti semplici della distribuzione sono

$\mu '_{1}=k+\lambda$

$\mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )$

$\mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )$

$\mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )$

e i suoi primi momenti centrali sono

$\mu _{2}=2(k+2\lambda )$

$\mu _{3}=8(k+3\lambda )$

$\mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )$

La funzione caratteristica di χ²(k,λ) è

$\phi (t)={\frac {e^{it\lambda /(1-i2t)}}{(1-i2t)^{k/2}}}$.

Formule alternative

Densità di probabilità

La densità di probabilità $f_{k,\lambda }$ della distribuzione χ²(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.

Una formula alternativa è

$f_{k,\lambda }={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$

dove

$I_{a}(y):=(y/2)^{a}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (a+j+1)}}$

è una funzione di Bessel del primo tipo, modificata.

Una terza formula è

$f(x)=e^{-{\frac {\lambda }{2}}}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {({\frac {\lambda }{2}})^{r}\ e^{-{\frac {x}{2}}}\ x^{{\frac {n}{2}}+r-1}}{2^{{\frac {n}{2}}+r}\ r!\ \Gamma ({\frac {n}{2}}+r)}}={\frac {e^{-{\frac {x+\lambda }{2}}}}{x}}({\frac {x}{2}})^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {({\frac {\lambda }{2}})^{r}\ x^{r}}{2^{r}\ r!\ \Gamma ({\frac {n}{2}}+r)}}$ per $x>0$

Funzione di ripartizione

Anche la funzione di ripartizione $F_{k,\lambda }$ della distribuzione χ²(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in statistica sono stati proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori $F_{k,\lambda }(x_{0})$.

Una formula ricorsiva, basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ² (centrale) è

$\textstyle F_{k,\lambda }(x)=F_{{\frac {n}{2}},0}(x)+\sum _{r>0}P_{r}({\frac {x}{2}})\$

dove

$\textstyle P_{0}(x)=0\qquad P_{1}(x)={\frac {\lambda }{2}}{\frac {e^{-x}x^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}}$

$\textstyle P_{r}(x)={\frac {\lambda ^{2}}{4}}{\frac {2(r-2)}{r(r-1)(n/2+r-1)}}P_{r-2}(x)-{\frac {\lambda }{2}}{\frac {n/2+2r-3-x}{r(n/2+r-1)}}P_{r-1}(x)$

Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la distribuzione Gamma e i primi due o tre momenti, oppure tramite la distribuzione normale.

Distribuzioni non centrali

Utilizzando la distribuzione χ² non centrale come generalizzazione della distribuzione χ² (centrale) è possibile definire versioni non centrali delle distribuzioni t di Student, F di Fisher-Snedecor e Beta.

Voci correlate

• Distribuzione chi quadrato
• Distribuzione normale
• Distribuzione di Poisson
• Mistura di distribuzioni
• Valore atteso
• Varianza