Metrica indotta

In matematica e in fisica teorica, la metrica indotta è il tensore metrico definito su di una sottovarietà che è calcolato a partire dal tensore metrico definito su una varietà più ampia in cui la sottovarietà è immersa.

La metrica indotta può essere calcolata usando la seguente formula:

Dove sono gli indicati delle coordinate della sottovarietà, mentre le funzioni delle coordinate identificano la superficie dello spazio tangente in una varietà con più dimensioni descritta dalle coordinate .

Si osservi che si è usata la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti nelle sommatorie.

Definizione di tensore metricoModifica

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.

DefinizioniModifica

Prodotto scalare non degenere in ogni puntoModifica

Un tensore metrico è un campo tensoriale   definito su una varietà differenziabile, di tipo  , simmetrico e non degenere in ogni punto.

Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.

CoordinateModifica

Un tensore è indicato in coordinate come  . Per ogni punto   della varietà, fissato una carta locale, il tensore in   è rappresentato quindi da una matrice simmetrica   con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di   all'interno della carta.

SegnaturaModifica

Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice   è la stessa per ogni   se la varietà è connessa.

Se la segnatura è di tipo  , cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.

Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura  . Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.

Varietà immersaModifica

Sia   una varietà differenziabile in  . Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su  : si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di   al sottospazio dei vettori tangenti a  . Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in   ha una struttura di varietà riemanniana.

Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera, scritto in coordinate sferiche  , è dato da

 

e può essere riassunto nella forma

 

Spaziotempo di MinkowskiModifica

Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio   dotato del tensore

 

che può essere riassunto nella forma

 

La costante   è la velocità della luce.

Indici di un tensoreModifica

Tensore metrico coniugatoModifica

Al tensore metrico   è associato un analogo tensore di tipo  , denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto  . Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di   (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:

 

scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore   è la delta di Kronecker definita da

 

Alzamento e abbassamento di indiciModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Innalzamento e abbassamento degli indici.

Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.

Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori   e  . Ad esempio, un vettore   viene trasformato in un covettore

 

Alternativamente,

 

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica