Teorema di Morley

In geometria, il teorema di Morley stabilisce che i punti di intersezione delle coppie di trisettrici degli angoli adiacenti allo stesso lato di un qualsiasi triangolo, sono i vertici di un triangolo equilatero,[1] chiamato "primo triangolo di Morley" o più semplicemente "triangolo di Morley". Tale teorema fu enunciato per la prima volta nel 1899 dal matematico anglo-americano Frank Morley. Il teorema, chiamato anche "miracolo di Morley", per la sua generalità e semplicità, è stato oggetto poi di varie generalizzazioni, una delle quali mostra in particolare che, se tutte le trisecanti si intersecano, si ottengono altri quattro triangoli equilateri.
Il teorema di Morley è valido solo nell'ambito della geometria euclidea e non sussiste quindi né in quella sferica né in quella iperbolica.[2]

Il teorema di Morley afferma che se ogni angolo del triangolo viene diviso in tre parti uguali da due trisettrici, allora il triangolo in viola è un triangolo equilatero.

DimostrazioniModifica

Esistono molte dimostrazioni del teorema di Morley che utilizzano tecniche che vanno dalla geometria elementare, come nel caso della dimostrazione data da John Conway, in cui, a partire da un triangolo equilatero, si costruisce un altro triangolo che, alla fine, si può rendere simile a un triangolo qualsiasi (e il triangolo equilatero di partenza costituisce il suo triangolo di Morley),[3][4] all'uso della trigonometria, all'utilizzo dei numeri complessi.[5][6]

Dimostrazione trigonometricaModifica

 
Fig 1.   Dimostrazione elementare del teorema di Morley.

Una delle dimostrazioni che si avvalgono della trigonometria parte dalla seguente identità:

 

 

 

 

 

[1]


che, applicando la formula di addizione del seno, si può dimostrare essere uguale a quest'altra identità:

 

La quale a sua volta può essere verificata applicando due volte la formula di addizione del seno al primo membro e poi utilizzando la formula :  per sostituire la funzione coseno.

Osservando la figura 1, si vede che sul lato   sono stati presi i punti  , e che, dato che la somma degli angoli interni di ogni triangolo è 180°,  , da cui   Da questo consegue che gli angoli del triangolo   sono   e  

Dalla figura 1 si vede anche che:

 

 

 

 

 

[2]


e

 

 

 

 

 

[3]


Inoltre,

 

e

 

 

 

 

 

[4]


Applicando il teorema dei seni ai triangoli   e   si ottiene

 

 

 

 

 

[5]


e

 

 

 

 

 

[6]


L'altezza del triangolo   può essere espressa, utilizzando l'equazione [1] per sostituire   e  , in due modi:

 

e

 

Utilizzando ora le equazioni [2] e [5] nell'equazione della   e le equazioni [3] e [6] in quella della  , si ottiene:

 

e

 

Poiché i numeratori sono uguali:

 

o

 

Poiché l'angolo   e l'angolo   sono congruenti e i lati che formano questi angoli sono proporzionali, allora i triangoli   e   sono simili.

Ne consegue quindi che gli angoli   e   sono congruenti e uguali a  , mentre gli angoli   e   sono congruenti e uguali a   Allo stesso modo si possono ricavare gli angoli alla base per i triangoli   e  

In particolare si trova che l'angolo   è pari a   e, sempre dalla figura 1, si vede che:

 

Sostituendo in base a quanto sopra detto e utilizzando l'equazione [4] per l'angolo   si ottiene:

 

e quindi:

 

Allo stesso modo si trova che anche gli altri due angoli del triangolo   hanno un valore di   e quindi che il triangolo   è un triangolo equilatero.

Lato e areaModifica

Il primo triangolo di Morley ha lati di lunghezza pari a:[7]

 

dove R è il circumraggio del triangolo di partenza e   e   sono gli angoli di tale triangolo. Poiché l'area di un triangolo equilatero è espressa dalla formula   l'area del triangolo di Morley può essere espressa come:

 

Triangoli di MorleyModifica

 
Questa figura mostra i 18 triangoli di Morley di un dato triangolo ABC. Le sei coppie di trisecanti presenti ai tre angoli del triangolo sono disegnate e colorate in modo tale che le intersezioni di due secanti dello stesso colore identifichino 27 punti giacenti su 9 diversi segmenti, ognuno dei quali contiene 6 punti di intersezione, con tali segmenti che sono tra loro o paralleli o che formano un angolo di 60°.

Il teorema di Morley implica l'esistenza di 18 triangoli equilateri. Il triangolo sopra descritto nel teorema, chiamato primo triangolo di Morley, ha i vertici che, in coordinate trilineari relative al triangolo ABC, sono espressi come:

A-vertice = 1 : 2 cos(C/3) : 2 cos(B/3)
B-vertice = 2 cos(C/3) : 1 : 2 cos(A/3)
C-vertice = 2 cos(B/3) : 2 cos(A/3) : 1

Un altro dei triangoli equilateri di Morley, anch'esso un triangolo centrale, chiamato secondo triangolo di Morley ha invece i vertici espressi come:

A-vertice = 1 : 2 cos(C/3 − 2π/3) : 2 cos(B/3 − 2π/3)
B-vertice = 2 cos(C/3 − 2π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 2π/3)
C-vertice = 2 cos(B/3 − 2π/3) : 2 cos(A/3 − 2π/3) : 1

Il terzo dei 18 triangoli equilateri di Morley, anch'esso un triangolo centrale, chiamato terzo triangolo di Morley è dato dai seguenti vertici:

A-vertice = 1 : 2 cos(C/3 − 4π/3) : 2 cos(B/3 − 4π/3)
B-vertice = 2 cos(C/3 − 4π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 4π/3)
C-vertice = 2 cos(B/3 − 4π/3) : 2 cos(A/3 − 4π/3) : 1

I tre triangoli sopra descritti formano tra loro coppie omotetiche. Un altro triangolo a loro omotetico è formato da tre punti X presenti sulla circumcirconferenza del triangolo ABC e tali per cui la linea XX −1 è tangente al circumcerchio, dove X −1 denota il coniugato isogonale di X. Tale triangolo equilatero, chiamato triangolo circumtangenziale, ha i seguenti vertici:

A-vertice = csc(C/3 − B/3) : csc(B/3 + 2C/3) : −csc(C/3 + 2B/3)
B-vertice = −csc(A/3 + 2C/3) : csc(A/3 − C/3) : csc(C/3 + 2A/3)
C-vertice = csc(A/3 + 2B/3) : −csc(B/3 + 2A/3) : csc(B/3 − A/3)

Un quinto triangolo equilatero, anch'esso omotetico agli altri, si ottiene ruotando il triangolo circumtangenziale di ?/6 attorno al suo centro. Chiamato triangolo circumnormale, i suoi vertici possono essere espressi come:

A-vertice = sec(C/3 − B/3) : −sec(B/3 + 2C/3) : −sec(C/3 + 2B/3)
B-vertice = −sec(A/3 + 2C/3) : sec(A/3 − C/3) : −sec(C/3 + 2A/3)
C-vertice = −sec(A/3 + 2B/3) : −sec(B/3 + 2A/3) : sec(B/3 − A/3)

Attraverso un'operazione chiamata "extraversione" si può ottenere ognuno dei 18 triangoli di Morley da ognuno degli altri 18. Inoltre, ogni triangolo può essere "extravertito" in tre diversi modi, e i 18 triangoli di Morley assieme alle 27 coppie di triangoli extravertiti, formati i 18 vertici e le 27 facce di un grafo di Pappo.[8]

Centri dei triangoliModifica

Il baricentro del primo triangolo di Morley in coordinate trilineari è espresso come:

Centro di Morley = X(356) = cos(A/3) + 2 cos(B/3)cos(C/3) : cos(B/3) + 2 cos(C/3)cos(A/3) : cos(C/3) + 2 cos(A/3)cos(B/3).

Il primo triangolo di Morley è omologo al triangolo ABC:[9] le linee che connettono un vertice del triangolo di partenza con il vertice opposto del triangolo di Morley si incontrano nel punto:

Primo centro di Morley–Taylor–Marr = X(357) = sec(A/3) : sec(B/3) : sec(C/3).

NoteModifica

  1. ^ Il teorema di Morley, su lorenzoroi.net, Lorenzo Roi. URL consultato il 13 maggio 2020.
  2. ^ Morley's Theorem in Spherical Geometry, su lienhard-wimmer.com, Lienhard Wimmer, 25 gennaio 2008. URL consultato il 13 maggio 2020.
  3. ^ Alexander Bogomolny, J. Conway's proof, su cut-the-knot.org, Cut-the-knot. URL consultato il 13 maggio 2020.
  4. ^ Renato Betti, Il miracolo di Morley e altre regolarità dei triangoli, su matematica.unibocconi.it, Università commerciale Luigi Bocconi. URL consultato il 13 maggio 2020.
  5. ^ Alexander Bogomolny, Morley's Miracle, su cut-the-knot.org, Cut-the-knot. URL consultato il 13 maggio 2020.
  6. ^ Piano complesso e teorema di Morley (PDF), Università degli Studi di Padova. URL consultato il 13 maggio 2020.
  7. ^ Eric W. Weisstein, First Morley Triangle, su MathWorld. URL consultato il 13 maggio 2020.
  8. ^ Richard K. Guy, The lighthouse theorem, Morley & Malfatti—a budget of paradoxes (PDF), in American Mathematical Monthly, vol. 114, n. 2, 2007, pp. 97-141, JSTOR 27642143. URL consultato il 14 maggio 2020 (archiviato dall'url originale il 1º aprile 2010).
  9. ^ M. D. Fox e J. R. Goggins, Morley's diagram generalised, in Mathematical Gazette, n. 87, Novembre 2003, pp. 453-467.

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