Distribuzione chi quadrato non centrale

distribuzione non centrale
Funzione di densità di probabilità
Chi-Squared-(nonCentral)-pdf.png
Funzione di ripartizione
Chi-Squared-(nonCentral)-cdf.png
Parametri (gradi di libertà)
non centralità
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Funzione generatrice dei momenti per
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità una distribuzione non centrale (chi quadrato, o chi quadro), è una distribuzione di probabilità che generalizza la distribuzione , descrivendo la somma dei quadrati di variabili aleatorie con distribuzioni normali ridotte ma non centrate.

In statistica viene impiegata per l'analisi della varianza e per alcuni test di verifica d'ipotesi.

DefinizioneModifica

La distribuzione   descrive la variabile aleatoria

 ,

dove   sono variabili aleatorie variabili indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte (ma non necessariamente centrate)  , i cui valori attesi soddisfano

 .

Il parametro k è detto numero di gradi di libertà e   è il parametro di non centralità. (La notazione per   non è uniforme: alcuni autori prendono   pari alla metà, oppure alla radice quadrata di questa somma.)

In particolare, per   le variabili   sono centrate e si ottiene nuovamente la distribuzione χ2:

 

È possibile definire la distribuzione χ2 non centrale anche tramite variabili aleatorie indipendenti   di distribuzione normale standard  , prendendo  , ovvero

 .

Indipendenza di λModifica

La distribuzione   dipende da λ e non dai singoli valori μi.

Sullo spazio euclideo di dimensione k, infatti, si possono considerare i vettori

 ;

la distribuzione di probabilità del vettore normale multivariato   è isotropa, ovvero invariante per isometria. In particolare la variabile aleatoria  , che è il quadrato della norma di  , dipende dalle   solo in termini della norma di  , ovvero  .

ProprietàModifica

SommaModifica

Per definizione, la somma di variabili aleatorie di distribuzioni χ2 non centrali è ancora una variabile aleatoria di distribuzione χ2 non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).

Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie con distribuzioni   e   è una variabile aleatoria con distribuzione  , con   e  .

Mistura di distribuzioni χ2Modifica

La distribuzione χ2 non centrale può essere espressa come mistura di distribuzioni χ2, pesate secondo la distribuzione di Poisson.

In altri termini è la distribuzione di una variabile aleatoria Z, dipendente da una variabile aleatoria J di legge di Poisson  , con distribuzione condizionata di Z rispetto a J data da  .

In particolare di χ2(k,λ) si possono descrivere

la densità di probabilità  
e la funzione di ripartizione  

tramite la densità di probabilità   e la funzione di ripartizione   delle distribuzioni χ2(k+2j).

CaratteristicheModifica

La funzione generatrice dei momenti della distribuzione χ2(k,λ) non centrale è

 

I primi momenti semplici della distribuzione sono

 
 
 
 

e i suoi primi momenti centrali sono

 
 
 

La funzione caratteristica di χ2(k,λ) è [1]

 .

Formule alternativeModifica

Densità di probabilitàModifica

La densità di probabilità   della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.

Una formula alternativa è

 

dove

 

è una funzione di Bessel del primo tipo, modificata.

Una terza formula è [2]

  per  

Funzione di ripartizioneModifica

Anche la funzione di ripartizione   della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in statistica sono stati proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori  .

Una formula ricorsiva, basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ2 (centrale) è [3]

 

dove

 
 

Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la distribuzione Gamma e i primi due[4] o tre[5]momenti, oppure tramite la distribuzione normale.[6]

Distribuzioni non centraliModifica

Utilizzando la distribuzione χ2 non centrale come generalizzazione della distribuzione χ2 (centrale) è possibile definire versioni non centrali delle distribuzioni t di Student, F di Fisher-Snedecor e Beta.

NoteModifica

  1. ^ (EN) M.A. Sanders, Characteristic function of the noncentral chi-square distribution (PDF), su planetmathematics.com. URL consultato il 7 marzo 2009 (archiviato dall'url originale il 15 luglio 2011).
  2. ^ D. Kerridge, Gives a very interesting probabilistic derivation, in Aust. J. Statist., 1965.
  3. ^ M. L. Tiku, Uses Laguerre polynomials to represent the noncentral chi-quare distribution, in Biometrika, 1965.
  4. ^ P. B. Patnaik, Points out some interesting geometrical features, in Biometrika, 1949.
  5. ^ E. Pearson, Studies the accuracy of the three-moment chi-square approximation, in Biometrika, 1959.
  6. ^ S. Abdel-Aty, Gives various Cornish-Fisher-type approximations, in Biometrika, 1954.

Voci correlateModifica

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