Funzione Gamma

una funzione meromorfa che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi
(Reindirizzamento da Funzione gamma di Eulero)

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo si ha:

Funzione gamma sui numeri reali
,

dove denota il fattoriale di cioè il prodotto dei numeri interi da a : .

DefinizioneModifica

 
Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione   è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso   è positiva, allora l'integrale

 

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della   a tutti i numeri complessi  , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

 

per cui si ha:

 .

In questo modo, la definizione della   può essere estesa dal semipiano   a quello   (ad eccezione del polo in  ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in  ).

Siccome  , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali  , che:

 

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

 

che si ottiene ponendo  , e quindi  , ottenendo quindi  

 

Espressioni alternativeModifica

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

 

dovuta a Gauss,

 

dove   è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione  

 

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

 

In questa formula sono espliciti i poli di ordine   e residuo   che la funzione Gamma ha in  , per ogni   intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

 

dove è stato fatto uso della relazione  .

ProprietàModifica

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

 

e quella di duplicazione:

 

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

 

la quale per   diventa:

 

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica   .

Le derivate della funzione Gamma:

 

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

 

dove   è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

 

dove   è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

 

che per   intero positivo si riduce ad una somma finita

 

dove   è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a   si ha, ancora,

 

che per   diverge, mentre per   diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

 

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine   è definita nel modo seguente:

  .

Valori notevoliModifica

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

 

che si può trovare ponendo   nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di  

 
 

dove   denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bohr-Mollerup.

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàNDL (ENJA00562231
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica