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In geometria differenziale, l'operatore di Laplace-Beltrami, il cui nome è dovuto a Eugenio Beltrami, è un operatore differenziale autoaggiunto che generalizza l'operatore di Laplace a funzioni definite su varietà riemanniane, come le superfici in uno spazio euclideo, e pseudo-riemanniane. Analogamente all'operatore di Laplace, è la divergenza del gradiente. L'operatore di Laplace-Beltrami può essere esteso a forme differenziali per mezzo della divergenza e della derivata esterna, ed in tal caso è detto operatore di Laplace-de Rham (da Georges de Rham).

Indice

DefinizioneModifica

L'operatore di Laplace-Beltrami, così come l'operatore di Laplace di cui è l'estensione, è definito come la divergenza del gradiente:

 

Sia   una varietà riemanniana orientata. L'orientazione consente di specificare una forma di volume   su  , che in un sistema di coordinate orientato   si scrive:

 

dove   sono le 1-forme che costituiscono la base duale alla base (dello spazio tangente) composta dai vettori:

 

e   è il prodotto wedge. Inoltre,   è il modulo del determinante del tensore metrico  .

La divergenza   di un campo vettoriale   sulla varietà è allora definita come la funzione scalare tale per cui:

 

con   la derivata di Lie lungo  . In coordinate locali:

 

dove si è utilizzata la notazione di Einstein.

Il gradiente di   è invece il campo vettoriale   che può essere definito attraverso il prodotto interno   sulla varietà come:

 

per tutti i vettori   posti nel punto   dello spazio   tangente la varietà in  , dove   è la derivata esterna. In coordinate locali:

 

dove  .

Combinando le definizioni di gradiente e divergenza, la formula per l'operatore di Laplace-Beltrami   applicato a una funzione scalare   è data in coordinate locali da:

 

Autoaggiuntezza formaleModifica

Per una funzione a supporto compatto  , la derivata esterna   soddisfa la relazione:

 

dove si è applicato il teorema di Stokes. Si ha inoltre che:

 

per ogni coppia di funzioni   e   a supporto compatto. Quest'ultima relazione caratterizza completamente l'operatore di Laplace-Beltrami  , poiché è l'unico operatore a soddisfare tale proprietà.

Come conseguenza, l'operatore di Laplace-Beltrami è negativo e formalmente autoaggiunto. Questo significa che per ogni coppia di funzioni   e   a supporto compatto:

 

Talvolta si definisce l'operatore di Laplace-Beltrami con il segno opposto.

Laplaciano tensorialeModifica

L'operatore di Laplace-Beltrami può essere scritto usando la traccia della derivata covariante iterata associata ad una connessione di Levi-Civita. Da questo punto di vista, se   è una base del campo vettoriale tangente allora la matrice hessiana di una funzione   è un tensore simmetrico di ordine 2 con componenti:

 

e l'operatore di Laplace-Beltrami è la traccia dell'hessiana, tenendo conto della metrica   :

 

In una notazione diversa, si scrive anche:

 

Poiché la derivata covariante si estende canonicamente a tensori arbitrari, l'operatore di Laplace-Beltrami definito su un tensore   dalla relazione:

 

è "ben definito".

Operatore di Laplace-de RhamModifica

Più in generale, si può definire un operatore differenziale laplaciano su sezioni del fibrato (più precisamente di una sua generalizzazione detta bundle) di forme differenziali su una varietà pseudo-riemanniana. Su una varietà riemanniana è un operatore ellittico, mentre su una varietà lorentziana è un operatore iperbolico. L'operatore di Laplace–de Rham è definito come:

 

dove   è la derivata esterna e   è il codifferenziale, agente come   su k-forme.

Se si calcola   per una funzione   scalare, si ha   sicché:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 628, 1980.
  • (EN) Harley Flanders, Differential forms with applications to the physical sciences, Dover, 1989, ISBN 978-0-486-66169-8.
  • (EN) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-42627-2..

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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