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Forma differenziale

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In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una -varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo , una forma differenziale ha una dimensione minore o uguale a . Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come -forma. Nel caso , la forma è una ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza è la possibilità di effettuare l'integrale di su un qualsiasi oggetto geometrico , di analoga dimensione , di una generica -varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con

Pertanto, una 1-forma è quindi integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

DefinizioneModifica

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di  , ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formaleModifica

Sia   un aperto di  . Sia   un intero con

 

Una  -forma differenziale è una scrittura del tipo:[1]

 

dove

 

è una funzione differenziabile e:

 

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale  , che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà. In particolare, il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte, per brevità, i simboli   sono omessi.

EsempiModifica

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su  .
Una 1-forma in   si scrive come

 

dove le   sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su  .

 

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in   si scrive come

 

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su  :

 

In generale una  -forma su   si scrive sempre usando un unico addendo

 

dove   è una funzione differenziabile.

Definizione come tensoreModifica

Una  -forma è una sezione liscia della  -esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile  :

 

In altre parole, per ogni punto   di   è data una funzione multilineare antisimmetrica

 

dove   è lo spazio tangente a   in  . La funzione   varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di  . Equivalentemente,   è un campo tensoriale che associa ad ogni punto   di   un tensore antisimmetrico di tipo  .

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo  , cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideoModifica

Se   è un insieme aperto di  , in ogni punto lo spazio tangente   è identificato con  . La base canonica per   induce quindi una base per lo spazio vettoriale   del tipo

 

dove l'elemento   rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento   è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

 

tramite dei coefficienti

 

che variano in modo liscio rispetto a  . La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se   allora

 

è lo spazio duale dei funzionali lineari su   e   è la base duale   della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto   un funzionale lineare.

CarteModifica

Se   è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto  , ogni  -forma   è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebricheModifica

Somma e prodotto per scalareModifica

Due  -forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova  -forma. Una  -forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle  -forme su un aperto   forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esternoModifica

Il prodotto esterno

 

di una  -forma   e di una  -forma   è una  -forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

 

La proprietà anticommutativa implica che

 

I coefficienti dei   però commutano fra loro e con i  . Ad esempio, se

 

sono una 1-forma e una 2-forma su  , il loro prodotto esterno è

 

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui   e   siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale  , ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui   e   sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

 

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

 

ProprietàModifica

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura.

Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

 

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo   e  , con un segno che però dipende dal prodotto  :

 

Derivata di una forma differenzialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata esterna.

La derivata di una  -forma è una  -forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna   di una  -forma differenziale

 

è la  -forma[2]

 

ProprietàModifica

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è una operazione lineare. In altre parole,

 

dove però   sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

 

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

 

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse e esatteModifica

Una forma differenziale   è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

 

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una  -forma   è invece esatta se esiste una  -forma   tale che

 

La forma   è detta primitiva di  .

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.

Poiché  , ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto   di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se   è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su   è una forma differenziale esatta per ogni intero  .

Forme lineariModifica

Una 1-forma differenziale

 

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

 

per ogni  .

Forme lineari e domini semplicemente connessiModifica

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto  ). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto  , ovvero dalla sua topologia.

Se   è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se   è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in  . In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

 

definita nell'aperto del piano

 

è chiusa ma non esatta. L'aperto   non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è  . Questa forma è nota come "vortice", per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

Forme lineari e analisi complessaModifica

Le 1-forme nel piano   sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato   con il piano complesso  , è possibile definire una 1-forma complessa

 

a partire da una qualsiasi funzione

 

definita su un aperto   del piano complesso. Si tratta di una usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se   è una funzione olomorfa su un aperto   del piano, allora la forma   risulta essere chiusa. Inoltre   è esatta con primitiva   se e solo se   è anch'essa olomorfa con derivata complessa   pari a  .

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

 

definita sull'aperto

 

è chiusa (perché   è olomorfa) ma non esatta: la funzione   non ammette infatti una primitiva su tutto  , ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di  , può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

 
 

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di  .

Integrazione di una forma differenzialeModifica

La proprietà più importante che caratterizza una  -forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile   di dimensione   dell'aperto   su cui è definita. L'integrale di   è indicato con il simbolo

 

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se  , la forma è una funzione,   è una unione di punti e l'integrale di   su   è semplicemente la somma dei valori di   assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

 

Se   ha una parametrizzazione del tipo

 

con   variabile in un dominio   di  , l'integrale è definito come[1]

 

dove

 

è il determinante dello jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare una orientazione su   e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà   è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in  ), l'integrale su   è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono   a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di baseModifica

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

  •  

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti   sono costanti):

  •  

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:[3]

  •  

Teorema di StokesModifica

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se   è una   forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta  , vale la relazione

 

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una  -forma esatta su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di lineaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di linea.

Una 1-forma   è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva  . L'integrale di   lungo   può essere calcolato con la formula seguente:

 

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto   sia contenuto nel piano  , la forma è del tipo

 

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

 

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

  • Se   è esatta, l'integrale di   su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
  • Conseguentemente, se   è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione   su   non è esatta, poiché

 

per ogni curva   avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

NoteModifica

  1. ^ a b W. Rudin, Pag. 258.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 265.
  3. ^ W. Rudin, Pag. 260.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

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