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Problema del quadrato inscritto

Questione geometrica

Il problema del quadrato inscritto, noto anche come congettura di Toeplitz, è una questione della geometria ad oggi non risolta, che consiste in questo interrogativo: "ogni curva piana chiusa semplice (non intrecciata) contiene i quattro vertici di un quadrato?". È risaputo che questo è vero se la curva è convessa oppure liscia, o in altri casi particolari. Il problema fu posto per la prima volta da Otto Toeplitz nel 1911.[1]. Alcuni risultati positivi furono raggiunti da Arnold Emch[2] e Lev Schnirelmann.[3] Al 2015, la questione rimane ancora aperta.[4]

Esempio: la curva in colore nero attraversa i vertici e il perimetro di vari quadrati evidenziati in blu.

Formulazione del problema modifica

Sia C una curva di Jordan. Un poligono P si dice inscritto in C se tutti i vertici di P appartengono a C. Il problema del quadrato inscritto è allora il seguente:

Ogni curva di Jordan ammette un quadrato inscritto?

Non è richiesto che i vertici del quadrato appartengano alla curva in qualche ordine particolare.

Esempi modifica

La circonferenza o il quadrato ammettono un numero infinito di quadrati inscritti. Se C è un triangolo ottusangolo, esso ammette esattamente un solo quadrato inscritto; i triangoli rettangoli ne contengono due; i triangoli acutangoli contengono tre quadrati inscritti.[5]

Casi risolti modifica

Un approccio ad una possibile soluzione del problema del quadrato inscritto consiste nel dimostrare che una classe particolare di curve ben-formate contiene sempre un quadrato inscritto, e quindi nell'approssimare una curva arbitraria con una successione di queste curve speciali, per poi inferire che esiste un quadrato inscritto come limite dei quadrati inscritti nelle curve che compongono la successione. Un motivo per il quale questo tipo di approccio non è ancora giunto ad una conclusione definitiva, è il fatto che il limite è un punto, e non un quadrato. Nonostante ciò, non sono noti casi particolari di curve che non contengono un quadrato.[4]

Curve ibride modifica

Arnold Emch (1916) mostrò che una curva ibrida, definita da un insieme di sotto-funzioni operanti in intervalli del dominio della funzione principale, possiede sempre un quadrato inscritto. Questo è vero in particolare per i poligoni. La dimostrazione di Emch prende in considerazione il punto medio del segmento di linea secante la curva, parallelo ad una linea data. Egli dimostra che, quando queste curve sono fatte intersecare con quelle generate nel solito modo per una famiglia di secanti perpendicolare alla linea data, il numero di intersezioni risultante è pari. Ne segue che esiste sempre un vertice, che è il centro di un rombo inscritto nella curva data. Ruotando con continuità le due linee perpendicolari per un angolo retto, e applicando il Teorema dei valori intermedi, egli dimostra che almeno uno di questi rombi è un quadrato.[4]

Curve localmente monotone modifica

Stromquist dimostrò che ogni curva piana semplice localmente monotona ammette un quadrato inscritto.[6]. La condizione è che per ogni punto p, la curva C può essere localmente rappresentata come il grafo di una funzione y = f(x). Più precisamente, per ogni punto p su C esiste un intorno U(p) e una direzione fissa n(p) (la direzione dell'asse y) tale che nessuna corda di C in questo intorno U è parallela a n(p). Le curve localmente monotone comprendono i poligoni, tutte le curve convesse chiuse, e le curve lisce ibride di classe C1 (cioè differenziabili una volta in almeno un punto dell'insieme) prive di cuspidi.

Curve prive di trapezoidi speciali modifica

Una condizione ancora più debole sulla curva di monotonia locale è che, per alcuni ε > 0, la curva non ha inscritti trapezio speciale di dimensioni ε. Un trapezio speciale è un trapezio isoscele con tre lati uguali, ciascuno più lungo del quarto lato, inscritto nella curva con un ordine dei vertici uguale alla loro disposizione in senso orario nella curva stessa. Il suo perimetro è pari alla lunghezza della parte della curva che si estende intorno ai tre lati uguali. Se un simile trapezio (ovvero un numero pari di essi) non esiste, l'argomento del limite per le curva generica può comunque essere concluso, mostrando che le curve con questa proprietà hanno sempre un quadrato inscritto.[4]

Curve in una corona circolare modifica

Se una curva di Jordan è inscritta in una Corona circolare il cui raggio più esterno è pari al massimo   volte il suo raggio interno, ed è disegnata in modo tale da separare la circonferenza della corona interna da quella esterna (senza punti di intersezione), allora essa contiene un quadrato inscritto. In questo caso, i quadrati più grandi inscritti che contengono il centro della corona sono topologicamente separati dai quadrati più piccoli inscritte non contenenti il centro. Il limite di una serie di grandi quadrati deve essere nuovamente un grande quadrato, piuttosto che un punto degenere, cosicché l'argomento del limite può essere applicato.

Curve simmetriche modifica

La risposta affermativa al problema del quadrato inscritto è nota anche per le curve simmetriche rispetto al centro, comprese anche quelle non ben-formate come la Curva di Koch.[7]

Varianti e generalizzazioni modifica

Uno potrebbe domandarsi se altre forme possono essere inscritte in una curva di Jordan. È noto che per ogni triangolo T e curva di Jordan C, esiste un triangolo similare a T inscritto in C.[8][9] Di più, l'insieme dei vertice di questo triangolo è denso su C[10]. In particolare, esiste sempre un triangolo equilatero inscritto. È altresì noto che ogni curva di Jordan ammette un rettangolo inscritto.

Alcune generalizzazione del problema del quadrato inscritto prendono in considerazione i poligoni inscritti nelle curve e, ancora più in generale, il continuum (spazio metrico convesso compatto non vuoto) in spazi a più dimensioni di quello euclideo. Ad esempio, Stromquist ha dimostrato che ogni curva chiusa continua in Rn che soddisfi la Condizione A per cui non esistono due corde perpendicolari di C in un intorno opportuno, ammette un quadrilatero inscritto avente due lati uguali e due diagonali uguali.[6] . Questa classe di curve include tutte le curve di classe C².
Nielsen e Wright hanno dimostrato che ogni K continuo in Rn contiene molteplici rettangoli inscritti[7]. H.W. Guggenheimer ha provato che ogni iper-superficie C³-diffeomorfica rispetto alla n-sfera Sn−1 contiene 2n vertici di un n-cubo euclideo regolare.[11]

Note modifica

  1. ^ Toeplitz, O. : "Ueber einige Aufgaben der Analysis situs" Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.
  2. ^ Arnold Emch, On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs, in American Journal of Mathematics, vol. 38, n. 1, 1916, pp. 6–18, DOI:10.2307/2370541, MR 1506274..
  3. ^ L. G. Šnirel'man, On certain geometrical properties of closed curves, in Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, vol. 10, 1944, pp. 34–44, MR 0012531..
  4. ^ a b c d Benjamin Matschke, A survey on the square peg problem, in Notices of the American Mathematical Society, vol. 61, n. 4, 2014, pp. 346–253, DOI:10.1090/noti1100..
  5. ^ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71 (4), 1998, 278-284.
  6. ^ a b Walter Stromquist, Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves, in Mathematika, vol. 36, n. 2, 1989, pp. 187–197, DOI:10.1112/S0025579300013061, MR 1045781..
  7. ^ a b Mark J. Nielsen e S. E. Wright, Rectangles inscribed in symmetric continua, in Geometriae Dedicata, vol. 56, n. 3, 1995, pp. 285–297, DOI:10.1007/BF01263570, MR 1340790..
  8. ^ Mark D. Meyerson, Equilateral triangles and continuous curves, in Fundamenta Mathematicae, vol. 110, n. 1, 1980, pp. 1–9, MR 600575..
  9. ^ E. H. Kronheimer e P. B. Kronheimer, The tripos problem, in Journal of the London Mathematical Society, Second Series, vol. 24, n. 1, 1981, pp. 182–192, DOI:10.1112/jlms/s2-24.1.182, MR 623685..
  10. ^ Mark J. Nielsen, Triangles inscribed in simple closed curves, in Geometriae Dedicata, vol. 43, n. 3, 1992, pp. 291–297, DOI:10.1007/BF00151519, MR 1181760..
  11. ^ H. Guggenheimer, Finite sets on curves and surfaces, in Israel Journal of Mathematics, vol. 3, 1965, pp. 104–112, DOI:10.1007/BF02760036, MR 0188898..

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Bibliografia modifica

  • Victor Klee e Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991

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