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In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Indice

Regole di derivazioneModifica

Siano   e   funzioni reali di variabile reale   derivabili, e sia   l'operazione di derivazione rispetto a  :

 
 
 
 
 
 
con:
 
 
 

Derivate fondamentaliModifica

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomialiModifica

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Dimostrazione
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  •  
  •  
  •  

Più in generale si ha:

  •  
Dimostrazione
 
Applicando il teorema binomiale:
 
e le proprietà dei coefficienti binomiali si ottiene:
 
 
 

Da quest'ultima relazione segue che se   è un polinomio generico di grado  , allora   è in generale un polinomio di grado   .

Dimostrazione
Se   è un polinomio generico di grado  , allora esso può essere espresso nella forma
 
Allora:
 
e applicando la linearità del limite si ottiene
 
Quest'ultima relazione, come si può osservare, coincide esattamente con l'espressione di un polinomio di grado  .

Potenze, radici e valore assolutoModifica

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  •  
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Dimostrazione
 
applicando la regola di derivazione di una funzione composta:
 
  •  
Applicando la regola sopra dimostrata   si ottiene:
 

Funzioni logaritmiche ed esponenzialiModifica

  •  
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Dimostrazione
  •  
Applicando ancora le proprietà dei logaritmi si ottiene:
 
Applicando il limite notevole   dove   si ottiene:
 
  • Dalla regola   scaturisce:
 
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  •  
  •  
Dimostrazione
  •  
dal limite notevole   
  •  
dal limite notevole   
Un altro sistema è il seguente. Applicando le proprietà dei logaritmi:
 
e applicando la regola di derivazione di una funzione composta:
 
  •  
e quindi
 
Dimostrazione
  • Data la funzione   applicando la regola di derivazione della funzione inversa, in questo caso  , e si ha:
 
  • Applicando la regola di derivazione   scaturisce:
 

Funzioni goniometricheModifica

  •  
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
 
Usando le proprietà trigonometriche di addizione:
 
A questo punto, ricordando i limiti notevoli
 
applicando la linearità del limite otteniamo:
 
  •  
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
 
Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione:
 
A questo punto, ricordando i limiti notevoli
 
applicando la linearità del limite otteniamo:
 
  •  
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive la funzione tangente come rapporto tra il seno ed il coseno:
 
Ora è possibile utilizzare la derivata del rapporto di due funzioni:
 
A questo punto si può sviluppare il rapporto in due modi:
 
 
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Dimostrazione
Le notazioni   e   indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione   e moltiplichiamo da ambo le parti   in modo da ottenere  . Differenziando l'espressione trovata si ottiene:
 
di conseguenza si ha che:
 .
Ricordando che:
 
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando:
 .
  •  
Dimostrazione
Le notazioni   e   indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione   e moltiplichiamo da ambo le parti   in modo da ottenere  . Differenziando l'espressione trovata si ottiene:
 
di conseguenza si ha che:
 .
Ricordando che:
 
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando:
 .
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Funzioni iperbolicheModifica

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Derivate di funzioni composteModifica

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Dimostrazione
  e dunque si deriva seguendo la regola di   e del prodotto
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Voci correlateModifica

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