Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Numero p-adico

Il sistema dei numeri $p$-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897, sebbene, approfondendo, alcuni lavori precedenti di Ernst Kummer si possono interpretare come un utilizzo implicito di tali numeri.

Per ogni numero primo $p$, il sistema dei numeri $p$-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri $p$-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei $p$-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo differenziale.

Più concretamente per un dato numero primo $p$, il campo $\mathbb {Q} _{p}$ dei numeri $p$-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi $\mathbb {Q} _{p}$ vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri $p$-adici per ogni $p$. Il campo $\mathbb {Q} _{p}$ possiede una topologia indotta da una metrica, che è, a sua volta, indotta da una norma alternativa sui numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.

Nel campo delle curve ellittiche, i numeri $p$-adici sono conosciuti come numeri $\ell$-adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo $p$ è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.

Motivazioni

L'introduzione più semplice ai numeri $p$-adici è considerare i numeri $10$-adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Si prenda per esempio il numero $\ldots 9999$, dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre "$9$", e si eseguano su di esso delle operazioni aritmetiche. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero $1$ (che in formato $p$-adico è $\ldots 0001$), otteniamo:

${\frac {\;\;\;\ldots 9999 \atop +\ldots 0001}{\ldots 0000}}$

come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un $1$. Per i numeri $10$-adici si ha quindi che $\ldots 9999=-1$. Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono $9$. Gli avvezzi all'informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di $1$ a sinistra; nei $2$-adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra $p-1$ per i numeri $p$-adici.

Lemmi

La teoria dei numeri $p$-adici si basa su due lemmi princpali:

• Lemma 1

  Ogni numero razionale diverso da zero può essere scritto in maniera univoca. Cioè:

  ${\begin{aligned}r\in \mathbb {Q} \quad r\neq 0,&\quad p\in \mathbf {P} ,&m,\ n\in \mathbb {Z} &\quad m\nmid p\quad n\nmid p\\&\exists ^{'}v\in \mathbb {Z} :&r=p^{v}\,{\frac {m}{n}}&\\\end{aligned}}$

  dove v, m,n sono numeri interi e né m né n sono divisibili per p.

  L'esponente v è determinato univocamente dal numero razionale e viene detta la sua valutazione $p$-adica (questa definizione è un caso particolare della definizione più generale, riportata di seguito).

  dim. La dimostrazione del lemma risulta direttamente dal teorema fondamentale dell'aritmetica.

• Lemma 2

  Ogni numero razionale r diverso da zero con valutazione $v_{p}(r)$ si può scrivere in maniera univoca. Cioè:

  ${\begin{aligned}r\ ,s\in \mathbb {Q} \quad r\neq 0,&\quad p\in \mathbf {P} ,&\\&\exists ^{'}a\in \mathbb {Z} ,\quad 0<a<p:&r=ap^{v_{p}(r)}\ +s\\\end{aligned}}$

  dove s è un numero razionale di valutazione $v_{p'}(s)$ maggiore di $v_{p}(r)$, mentre a è un numero intero tale che $0<a<p.$

  dim. La dimostrazione di questo lemma si ottiene utilizzando l'aritmetica modulare. Per il lemma precedente,

  $r\ =p^{v}\ {\frac {m}{n}}\quad m,\ n\in \mathbb {Z} \quad m\nmid p,\ n\nmid p\quad (*)$

  cioè m ed n sono interi coprimi con p. L'inverso modulare di n si definisce come

  $\exists ^{'}q,h\in \mathbb {Z} :\quad nq\ =1\ +ph$

  dividendo per n e isolando ${\frac {1}{n}}$ si ottiene la relazione

  ${\frac {1}{n}}\ =q-p{\frac {h}{n}},$

  e sostituendo nella (*) si ottiene

  $r\ =p^{v}m\left(q-p{\frac {h}{n}}\right)\ =p^{v}\ mq-p^{v+1}\ {\frac {hm}{n}}.\qquad (**)$

  La divisione euclidea di $mq$ per p essendo mq non divisibile per p si definisce come

  $\exists ^{'}k,a\in \mathbb {Z} :\quad mq\ =pk\ +a\qquad 0<a<p.$

  e sostituendo nella (**) si ottiene

  ${\begin{aligned}r&=p^{v}\left(pk\ +a\right)\ -p^{v+1}{\frac {hm}{n}}\\&=ap^{v}\ +p^{v+1}k\ -p^{v+1}{\frac {hm}{n}}\\&=a\ p^{v}+{\frac {kn-hm}{n}}\ p^{v+1}\\&=ap^{v}\ +s\\\end{aligned}}$

  che è la tesi, dove $v\ =v_{p}(r)$.

Quanto detto si può ripetere a partire da s invece di r, ottenendo quanto segue: dato un numero razionale r non zero di valutazione v e un numero positivo k, esistono e sono unici un numero razionale $s_{k}$ di valutazione non negativa e k numeri interi non negativi $a_{0},\ldots ,a_{k-1}$ minori di p con $a_{0}>0$ per cui si ha

$r=a_{0}\ p^{v}+a_{1}\ p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}\ p^{v+k-1}+p^{v+k}\ s_{k}.$

I numeri $p$-adici si ottengono continuando tale somma all'infinito cioè sono riconducibili ad una serie numerica.

Costruzione

Approccio analitico

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di $\mathbb {Q}$ non la norma euclidea, ma appunto la norma p-adica definita da:

$||x||_{p}={\frac {1}{p^{n}}},$

dove $n\in \mathbb {Z}$ e $x\in \mathbb {Q}$ è scritto in forma irriducibile, cioè tale che $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, con $a$ e $b$ interi tali che $p\nmid a$ e $p\nmid b$.

Questa norma induce di conseguenza una distanza e quindi si può parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri $p$-adici $\mathbb {Q} _{p}$ vengono definiti come il completamento secondo Cauchy di $\mathbb {Q}$ con la norma $p$-adica. I numeri $p$-adici di norma minore o uguale a $1$ sono detti interi $p$-adici e l'insieme di tutti gli interi $p$-adici, in genere indicato con $\mathbb {Z} _{p}$, forma un sottoanello di $\mathbb {Q} _{p}.$

Viene definita anche la valutazione $p$-adica come la valutazione:

$v_{p}(a)=\log _{\frac {1}{p}}||a||_{p}.$

Approccio algebrico

L'approccio algebrico consiste nel considerare $\mathbb {Q} _{p}$ come il campo delle frazioni di $\mathbb {Z} _{p}$, che a sua volta è il limite proiettivo di $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$.

La caratteristica di $\mathbb {Q} _{p}$ è $0$ ed infatti il suo sottocampo fondamentale è $\mathbb {Q}$, e che $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} _{p}$ si vede immediatamente dalla costruzione analitica.

Rappresentazione

Un modo comune di rappresentare un numero $p$-adico $a\in \mathbb {Q} _{p}$ è tramite una serie

$a=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots$

dove k è un intero (preferibilmente negativo), e ciascun $a_{i}$ è un intero tale che $0\leq a_{i}<p.$ Un intero p-adico è un numero p-adico tale che $k\geq 0.$ Con $a_{n}\neq 0$, dove $n\in \mathbb {Z}$ non è altro che la valutazione $p$-adica $v_{p}(a)$ e $0\leq a_{i}\leq p-1$ per ogni $i$. In generale tali serie non sono convergenti nel senso comune, ma convergono come valore assoluto p-adico $|s|_{p}=p^{-k},$ dove k è il minimo intero i tale che $a_{i}\neq 0$ (se tutti gli $a_{i}$ sono nulli, si ha il numero p-adico nullo, che ha $0$ come valore assoluto p-adico).

Ogni numero razionale può essere espresso univocamente come somma di una serie come sopra, rispetto al valore assoluto p-adico. Ciò consente di considerare i numeri razionali come particolari numeri p-adici o in alternativa di definire i numeri p-adici come il completamento dei numeri razionali per il valore assoluto p-adico, esattamente come i numeri reali sono il completamento dei numeri razionali per il consueto valore assoluto.

La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma $p$-adica

$\lim _{m\rightarrow +\infty }\sum _{i=m}^{\infty }a_{i}p^{i}=0.$

A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione:

$a=(a_{-k}a_{-k+1}\dots a_{0},a_{1}\dots a_{n}\dots )$

dove gli $a_{i}$ sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo $a_{0}$, i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.

Serie p-adica

Abbiamo visto che i numeri p-adici vengono definiti tramite una serie p-adica. Cioè una serie di potenze della forma

$\sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},$

dove $v$ è un intero e gli $r_{i}$ sono numeri razionali che sono zero o hanno una valutazione non negativa (ovvero, il denominatore di $r_{i}$ non è divisibile per p.

Ogni numero razionale può essere visto come una serie p-adica con un solo termine non nullo, costituito dalla sua fattorizzazione $p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ con n e d entrambi coprimi con p.

Relazione di equivalenza

Due serie p-adiche

$\sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},\quad \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}$

sono dette equivalenti se esiste un intero N tale che, $\forall n\ >N,$ il numero razionale

$\sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}$

è nullo oppure ha una valutazione p-adica maggiore di n.

Serie normalizzata

Una serie p-adica ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ viene detta normalizzata o se tutti gli $a_{i}$ sono degli interi con $0\leq a_{i}<p,$ e $a_{v}>0,$ oppure se tutti gli $a_{i}$ sono nulli. In quest'ultimo caso, la serie è detta “serie zero”.

Ogni serie p-adica equivale ad una serie normalizzata. Questa serie normalizzata è ottenuta tramite trasformazioni, che sono equivalenze di serie; vedere § Normalizzazione di una serie p-adica.

In altre parole, l'equivalenza della serie p-adica è una relazione di equivalenza, e ciascuna classe di equivalenza contiene esattamente una serie p-adica normalizzata.

Le operazioni sulle serie (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) sono compatibili con l'equivalenza di una serie p-adica. Cioè, se denotiamo la relazione di equivalenza con $~$, se S, T, U sono serie p-adiche non nulle con $S\sim T,$ si ha

${\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}$

I numeri p-adici spesso si definiscono come classi di equivalenza di serie p-adiche, in analogia alla definizione dei numeri reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy. La proprietà di unicità della normalizzazione, permette di rappresentare un numero p-adico tramite una serie p-adica normalizzata. La compatibilità dell'equivalenza in serie conduce alle proprietà di base dei numeri p-adici:

• Addizione, moltiplicazione e l'inverso moltiplicativo di numeri p-adici sono definiti come le operazioni per le serie di potenze, seguita dalla normalizzazione del risultato.
• Con le due operazioni, i numeri p-adici formano un campo, che è un campo di estensione dei numeri razionali.
• La valuazione di un numero p-adico $x\neq 0$, con la notazione $v_{p}(x)$ è l'esponente di p nel primo termine diverso da zero della corrispondente serie normalizzata; mentre per $x=0$ si ha $v_{p}(0)=+\infty$
• Il valore assoluto p-adico di un numero x p-adico non nullo, è

  $|x|_{p}=p^{-v(x)};$

  per x nullo

  $|0|_{p}=0.$

Normalizzazione di una seria p-adica

Partendo dalla serie

$\sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},$

il primo lemma permette di ottenere una serie equivalente tale che p, la valutazione -adica di $r_{v}$ è zero. For that, one considers the first nonzero $r_{i}.$ If its Template:Mvar-adic valuation is zero, it suffices to change Template:Mvar into Template:Mvar, that is to start the summation from Template:Mvar. Otherwise, the Template:Mvar-adic valuation of $r_{i}$ is $j>0,$ and $r_{i}=p^{j}s_{i}$ where the valuation of $s_{i}$ is zero; so, one gets an equivalent series by changing $r_{i}$ to Template:Math and $r_{i+j}$ to $r_{i+j}+s_{i}.$ Iterating this process, one gets eventually, possibly after infinitely many steps, an equivalent series that either is the zero series or is a series such that the valuation of $r_{v}$ is zero.

Quindi, se la serie non è normalizzata, si considera il primo $r_{i}\neq 0$ che non sia un intero nell'intervallo $[0,p-1].$ Il lemma 2 ci permette di esplicitarlo come

$r_{i}\ =a_{i}\ +ps_{i}$

si ottengono n serie equivalenti sostituendo $r_{i}$ conh $a_{i},$ e aggiungendo $s_{i}$ a $r_{i+1}.$ Iterando questo processo, possibilmente infinite volte, si ottiene alla fine la serie $p$-adica normalizzata desiderata.

Espansione p-adica dei numeri razionali

• L'espansione decimale di un numero razionale positivo $r$ viene rappresentato dalla serie

  $r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i}\qquad a_{i}\in \mathbb {Z} ,\ 0<a_{i}<10$

  Questa serie si calcola con la divisione che usa l'algoritmo denominato divisione lunga del numeratore per il denominatore, e si basa sul seguente teorema:

  se $r={\tfrac {n}{d}}$ è un numero razionale tale che $10^{k}\leq r<10^{k+1},$ esiste un intero $a$ con $0<a<10,$ per cui si ha $r=a\,10^{k}+r',$ con $r'<10^{k}.$

  L'espansione decimale si ottiene applicando ripetutamente questo risultato al resto $r'$ che nell'iterazione assume il ruolo del numero razionale originario $r$.
• L'espansione $p$-adica di un numero razionale viene definita come prima, ma i passi della divisione sono diversi. Cioè, fissato un numero primo $p$, ogni numero razionale $r$ non nullo si può esplicitare unicamente

  $r\ =p^{k}\ {\tfrac {n}{d}},$

  dove

  $k$ è un intero (preferibilmente negativo) detto valutazione p-adica di $r$, si denota $v_{p}(r)$

  $n,\ d$ sono interi coprimi e ambedue coprimi con $p$

  $d$ è un intero positivo.

  $p^{-k}$ viene detto valore assoluto p-adico, si denota $|r|_{p}$ (tale valore è piccolo quando la valutazione è grande).

  Il passo della divisione o iterazione successiva diventa

  $r=a\,p^{k}+r'$

  dove

  $a$ è un intero tale che $0\leq a<p,$

  $r'$ può essere nullo oppure un numero razionale tale che $|r'|_{p}<p^{-k}$ (cioè, $v_{p}(r')>k$).

  Fatte queste premesse l'espansione p-adica di un numero razionale $r$ è la serie di potenze

  $r\ =\ \sum _{i=k}^{\infty }\ a_{i}p^{i}\qquad a_{i}\in \mathbb {Z} ,\ 0\leq a_{i}<p$

  e si ottiene dalla ripetizione continua della divisione analizzata effettuata sui resti successivi. Se si verifica

  $r\ =p^{k}{\tfrac {n}{1}}\qquad n>0$

  il processo si ferma eventualmente con resto zero; in questo caso, la serie ammette termini finali con coefficienti nulli, ed abbiamo la rappresentazione di $r$ in base-p.

  Esistenza ed unicità della serie

  L'esistenza e il calcolo dell'espansione p-adica di un numero razionale si ottiene considerando l'identità di Bézout. Se, come visto, $r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ con $d,\ p$ coprimi, allora esistono due interi $t,\ u$ per cui si verifica

  $td\ +up\ =1$

  Quindi

  $r\ =p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)\ =p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.$

  Allora, la divisione euclidea di $nt$ per $p$ diventa

  $nt\ =qp\ +a\quad 0\leq a<p.$

  Lo step della divisione acquista la forma

  ${\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}$

  e iterando si ottiene

  $r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}$

  come il nuovo numero razionale su cui operare lo step divisione successivo.

  L'unicità dell'iterazione continua della divisione e dell'intera serie p-adica è semplice a dimostrare. Si verifica che

  $p^{k}a_{1}\ +p^{k+1}s_{1}\ =p^{k}a_{2}\ +p^{k+1}s_{2}\implies a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1})$

  cioè $p$ divide $a_{1}-a_{2}.$. Essendo

  $0\leq a_{1}<p,\quad 0\leq a_{2}<p$

  allora si ha pure

  $0\leq a_{1},\quad a_{2}<p\implies -p<a_{1}-a_{2}<p$

  inoltre

  $p\mid (a_{1}-a_{2})$

  gli ultimi due risultati portano alla $a_{1}=a_{2}.$

L'espansione p-adica di un numero $r\in \mathbb {Q}$ è una serie convergente ad $r$, if one applies the definition of a convergent series with the Template:Mvar-adic absolute value. In notazione p-adica standard, le cifre sono scritte nello stesso ordine come per un [[Positional notation#Base of the numeral system|sistema standard base-p]], cioè con le potenze della base che aumentano a sinistra. Cioè l'ordine delle cifre è invertito e la cifra limite si trova sul lato sinistro.

L'espansione p-adica è periodica. Viceversa, una serie

$\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},\quad 0\leq a_{i}<p$

converge nel senso del valore assoluto p-adico ad un numero razionale se e solo se è periodica; e la serie rappresenta l'espansione p-adica di un numero razionale. La dimostrazione è simile a quella del numero decimale periodico.

Esempi

Calcoliamo l'espansione decimale del numero razionale ${\tfrac {1}{3}}.$.

${\frac {1}{3}}=\ldots 3333333_{10}$

Calcoliamo l'espansione 5-adica del numero razionale ${\tfrac {1}{3}}.$. L'identità di Bézout per 5 e denominatore 3 è

$2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1$

per numeri più ampi, si utilizza l'algoritmo esteso di Euclide. Dividendo per 3 ambo i membri si ottiene:

${\frac {1}{3}}=2-{\frac {5}{3}}.$

Per il passo successivo, bisogna "dividere" $-1/3$ (il fattore 5 nel numeratore della frazione deve essere visto come uno "spostamento" della valutazione p-adica, e quindi non è coinvolto nella "divisione"). Moltiplicando l'identità di Bézout per $-1$ si ha:

$-{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.$

La "parte intera" $-2$ non è nell'intervallo giusto. Quindi, usiamo la divisione euclidea per $5$ ed essendo $-2=3-1\cdot 5,$ si ottiene

$-{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}},$

e

${\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.$

Essendo

$-{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},$

si ottiene

${\frac {1}{3}}\ =2+3\cdot 5+\left(1-{\frac {5}{3}}\right)\cdot 5^{2}=\ 2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.$

Poiché il "resto" $-{\tfrac {1}{3}}$ è già stato trovato, il processo può essere continuato facilmente, fornendo i coefficienti $3$ per le potenze dispari di cinque e $1$ per le potenze pari. O usando la notazione standard 5-adica

${\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}$

con i punti di sospensione $\ldots$ sul lato sinistro.

Notazione posizionale

È possibile utilizzare una notazione posizionale simile a quella utilizzata per rappresentare i numeri in base p.

Consideriamo una serie p-adica normalizzata

$r\ =\sum _{i=-k}^{\infty }a_{i}p^{i}\ =\ldots +a_{3}p^{3}\ +a_{2}p^{2}\ +a_{1}p^{1}\ +a_{0}p^{0}\ +a_{-1}p^{-1}\ +a_{-2}p^{-2}+\ldots +a_{-k}p^{-k}\qquad k\in \mathbb {N} ,\quad a_{i}\in \mathbb {Z} ,a_{i}\in [0,\ p-1]$

in notazione posizionale viene definito come una sequenza unilaterale sinistra: cioè formata da certe cifre finite a destra dopo la virgola e infinite cifre a sinistra prima della virgola. Tale notazione è unica a meno di zeri a sinistra o a destra che vengono omessi.

$r\ =[\ldots a_{3}\ a_{2}\ a_{1}\ a_{0}\ ,a_{-1}\ a_{-2}\ \ldots a_{k}]_{p}\ ={\ldots a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}\ {.}_{p}a_{-1}a_{-2}\ldots a_{k}}$

Possiamo ipotizzare che per valori $-k$ tutti i coefficienti $a_{i}\ =0\quad \forall 0<i\leq -k$, e aggiungendo i termini zero risultanti alla serie. Per valori $k,$ la notazione posizionale consiste nello scrivere gli $a_{i}$ consecutivamente, ordinati per valori decrescenti dell'indice i, spesso con p che appare a destra come indice:

$r\ =[\ldots a_{3}\ a_{2}\ a_{1}\ a_{0}]_{p}\ ={\ldots a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}_{p}$

Ad esempio, il calcolo dell'esempio visto ha notazione 5-adica del numero razionale ${\frac {1}{3}}$

${\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},$ e ${\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.$

Mentre per $-k,$ viene aggiunto un punto di separazione prima delle cifre con indice negativo e, se è presente l'indice p, appare subito dopo il punto di separazione. Ad esempio:

${\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,$ e ${\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.$

Se una rappresentazione p-adica è finita a sinistra (cioè, $a_{i}=0\quad \forall i\gg 0$), allora ha il valore di un numero razionale non negativo della forma $np^{v},\quad n,v\in \mathbb {Z}$. Questi numeri razionali sono esattamente i numeri razionali non negativi che hanno una rappresentazione finita in base p. Per tali numeri, le due rappresentazioni coincidono.

Note

Riferimenti

Postille

Bibliografia

• (EN) Richard Dedekind, Heinrich Weber, Theory of Algebraic Functions of One Variable, in History of mathematics. Volume 39, AMS, 2012, ISBN 978-0-8218-8330-3.— tradotto in inglese da John Stillwell dall'originale Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
• (EN) Hensel Kurt, Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, vol. 6, n. 3, 1897, pp. 83-88.
• (EN) Gouvêa Fernando Q., p-adic Numbers: An Introduction, 2ª ed., Springer, 1997, ISBN 3-540-62911-4.
• (EN) M. Hazewinkel, Handbook of Algebra, North Holland, 2009, ISBN 978-0-444-53257-2.

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