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Il grafico della funzione logaritmo in base 2

In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.[1]

Per esempio, il logaritmo in base di è , poiché bisogna elevare alla terza potenza per ottenere , ovvero . Più in generale, se , allora è il logaritmo in base di , cioè, scritto in notazione matematica,

I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di tavole di logaritmi.

La funzione (logaritmo in base di ) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base data da

È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il numero di Nepero, indicato con Il logaritmo naturale è l'inverso della funzione esponenziale

DefinizioneModifica

Dati due numeri reali positivi   e  , con  , si definisce logaritmo in base   di   l'esponente a cui elevare   per ottenere   Il numero   viene chiamato argomento del logaritmo. In altre parole, se   si scrive che

 

e si legge:   è il logaritmo in base   di  

Le ipotesi su   e   sono necessarie per avere l'esistenza e l'unicità di   infatti:

  • se   e  , non esistono   tali che  
  • se   e  , esistono infiniti   con tale proprietà;
  • se   e  , non esistono   con tale proprietà, infatti non esiste nessun numero, a parte   stesso, che possa essere ottenuto attraverso una potenza di  
  • se   e  , esistono infiniti   con tale proprietà;
  • se  , l'elevamento a potenza   non è definito per tutti i numeri reali  , può essere definito per ogni reale   solo sui numeri razionali esprimibili con una frazione con denominatore dispari e, di conseguenza, anche sui numeri interi;
  • il risultato di un elevamento a potenza di un numero positivo è un numero positivo, quindi, per l'osservazione precedente, deve necessariamente essere  

EsempiModifica

Per esempio,   perché  

I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti

 

poiché  

Proprietà dei logaritmiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Identità sui logaritmi.

Dalle relazioni   e  , che valgono qualsiasi sia la base  , derivano le proprietà di base:

 
 

Inoltre, dalla definizione segue che:

 

Prodotto, quoziente, potenza e radiceModifica

Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono

 
I logaritmi, assieme alle formule di prostaferesi, consentono quindi di trasformare le somme in prodotti e le differenze in quozienti, proprietà questa talora molto utile nella semplificazione algebrica.
Dimostrazione

Il logaritmo   è, per definizione, l'esponente che si deve mettere alla base   per ottenere   come risultato:

 

Se scriviamo:

 
 

Usando le regole dell'esponenziale:

 

Applicando il logaritmo ad ambo i membri:

 
  rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base   per ottenere  .

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

 
 
 
Dimostrazione

Se scriviamo:

 
 

Usando le regole dell'esponenziale:

 

Applicando il logaritmo ad ambo i membri:

 
  rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base a per ottenere  .

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

 
 

Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza   è uguale a   moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice  -esima di un numero è uguale all'inverso di   per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:

 
Dimostrazione

Se scriviamo:

 

Usando le regole dell'esponenziale:

 

Questo significa che   è l'esponente da dare alla base   per ottenere  , ovvero usando i logaritmi:

 
 
 

Cambiamento di baseModifica

Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi   ed  ).

Se  ,  , e   sono tutti numeri reali positivi (con   e  ):

 

dove k è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente

 

e segue dalla relazione

 

Dalla formula del cambiamento di base, ponendo  , si ricava la relazione seguente:

 

Basi del logaritmoModifica

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da  , quelle più utilizzate sono tre:

  • base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, o con Log, oppure anche con log quando la base a cui ci si riferisce è chiara dal contesto (simbolo ISO lg).
  • base e (logaritmi naturali o neperiani), usati nel calcolo infinitesimale; li si indica con ln, oppure con log quando la base a cui ci si riferisce è chiara dal contesto (simbolo ISO ln).
  • base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2, oppure con log quando la base a cui ci si riferisce è chiara dal contesto (simbolo ISO lb).

StoriaModifica

Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese Nepero nel 1614, in un libro intitolato Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.

Per sottrazioni successive, Nepero calcolò   per   da   a  ; il risultato per   è approssimativamente  , ovvero  . Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per  , con   da   a  . Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero   da 5 a 10 milioni, il numero   che risolve l'equazione

 

Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del greco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare

 

dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:

 

L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.

Nel 1647, il fiammingo Gregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla quadratura dell'iperbole, dimostrando che l'area   sottesa da   a   soddisfa

 

Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto Logarithmotechnia pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.

Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come

 
 

Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.

Tavole dei logaritmi e applicazioni storicheModifica

Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'astronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di   e di   per ogni numero   in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base   scelta (solitamente  ). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base   di tutti i numeri da   a  , con una precisione di otto cifre decimali. La funzione  , poiché inversa del logaritmo, venne chiamata antilogaritmo.

Il prodotto e il quoziente di due numeri   e   venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto   è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di   e  :

 

Il quoziente   è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di   e  :

 

Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.

Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:

 

e

 

Funzione logaritmoModifica

 
Logaritmi con varie basi: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7. Come si può notare, tutte le funzioni passano per il punto (1, 0).

Operando sui numeri reali, la funzione logaritmo è la funzione   definita da

 

La funzione ha come dominio l'intervallo   In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base  . La curva rossa è per la funzione con base   costante di Nepero (valore approssimato:  ). Come si può notare dal grafico, il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle  ), è l'intervallo  ; mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle  , è  .

DerivataModifica

La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:

 

dove ln è il logaritmo naturale, cioè con base  . In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:

 

Dimostrazione con la funzione inversaModifica

L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:

 

La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:

 

Ne segue:

 

Dimostrazione tramite definizioneModifica

Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:

 
 
 

e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:

 

Convessità e concavitàModifica

La derivata seconda della funzione logaritmo è

 

Se  , questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se   è invece sempre positivo e la funzione è convessa.

IntegraleModifica

La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile. La funzione integrale del logaritmo, con base generica  , è (applicando l'integrazione per parti):

 

dove   è la costante di integrazione, cioè una costante reale arbitraria.

Funzione analiticaModifica

La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto   ha infatti raggio di convergenza   ed è quindi convergente solo nell'intervallo  . Ad esempio, lo sviluppo in   è il seguente:

 

Relazione tra funzione esponenziale e logaritmicaModifica

Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile come

 

con a e b costanti è possibile pervenire alla relazione:

 

che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in ln(a), con derivata prima b e angolo di inclinazione pari ad arctan(b): in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice ed accessibile.

Logaritmo complessoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Logaritmo complesso.
 
Grafico del logaritmo complesso: l'altezza rappresenta il modulo ed il colore l'angolo.

La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente:

 

con   l'unità immaginaria e   l'argomento di  . Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero  .

NoteModifica

  1. ^ S.K. Kate e H.R. Bhapkar, 1, in Basics Of Mathematics (Technical Publications), 2009, ISBN 978-81-8431-755-8.

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