Distribuzione normale

La distribuzione normale (o distribuzione di Gauss dal nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, o distribuzione a Campana di Gauss), nella teoria della probabilità, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio.

Variabile casuale normale (o di Gauss)
Funzione di densità La linea in rosso si riferisce alla variabile casuale normale standardizzata
Funzione di ripartizione I colori corrispondono a quelli delle densità della figura precedente
Parametri	$\mu ~\in ~\mathbb {R}$, $\sigma ^{2}~\in ~(0,\infty )$
Supporto	$\mathbb {R}$
Funzione di densità	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right\}$
Funzione di ripartizione	${\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$
Valore atteso	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
Varianza	$\sigma ^{2}$
Indice di asimmetria	$0$
Curtosi	$0$
Entropia	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$
Funzione generatrice dei momenti	${M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Funzione caratteristica	$\varphi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$

Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come "curva a campana", "curva normale", "curva gaussiana" o "curva degli errori".

Descrizione

La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Un insieme di valori dato potrebbe essere normale: per stabilirlo si può usare un test di normalità. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di n all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi.

La distribuzione normale dipende da due parametri, la media μ e la varianza σ², ed è indicata tradizionalmente con:

$\ N(\mu ;\sigma ^{2}).$

Metodologia

La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}~{\mbox{ con }}~x\in \mathbb {R} .$

Dove $\mu$ è il valore atteso e $\sigma ^{2}$ la varianza.

Per dimostrare che $p_{X}(x)$ è effettivamente una funzione di densità di probabilità si ricorre innanzi tutto alla standardizzazione (statistica) della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:

$Z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$,

dove la variabile risultante $-\infty <Z<+\infty$ ha anch'essa distribuzione normale con parametri $\mu =0$ e $\sigma =1$. L'integrale della funzione di densità di probabilità della variabile casuale standardizzata $Z$ è il seguente:

$S=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz$

Dato che deve necessariamente valere la condizione $S=1$, allora risulta anche $S^{2}=1$ quindi:

$S^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Y}(y)dy$

$S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {z^{2}+y^{2}}{2}}}dzdy$

dove anche la variabile casuale $Y$ ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo integrale doppio si ricorre alle coordinate polari $z=\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$, dove $\rho \geq 0$ e $0\leq \theta \leq 2\pi$. La matrice jacobiana della trasformazione è

$J(\rho ,\theta )=\left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial z}{\partial \rho }}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\\\\{\frac {\partial y}{\partial \rho }}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{array}}\right]$,

il cui determinante è pari a $|J(\rho ,\theta )|=\rho (\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=\rho$. Sostituendo nell'integrale di cui sopra si ottiene:

$S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{\frac {\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}{2}}}|J(\rho ,\theta )|d\theta d\rho =\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {\rho ^{2}}{2}}}\rho \ d\rho =1$

La sua funzione generatrice dei momenti è

$g(x)=e^{\mu x+\sigma ^{2}{\frac {x^{2}}{2}}}$

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile esprimere l'integrale della $p_{X}(x)$ in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:

68,3% = P{ μ − 1,00 σ < X < μ + 1,00 σ }
95,0% = P{ μ − 1,96 σ < X < μ + 1,96 σ }
95,5% = P{ μ − 2,00 σ < X < μ + 2,00 σ }
99,0% = P{ μ − 2,58 σ < X < μ + 2,58 σ }
99,7% = P{ μ − 3,00 σ < X < μ + 3,00 σ }

Essendo $p_{X}(x)$ una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Fisher-Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

Teoremi

Combinazione lineare di variabili gaussiane

Se

X₁, X₂, ..., X_n sono n variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso μ_i e varianza σ²_i,

allora

la variabile casuale Y = α₁X₁ + α₂X₂ + ... + α_nX_n è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso μ = α₁μ₁ + α₂μ₂ + ... + α_nμ_n e varianza σ² = α²₁σ²₁ + α²₂σ²₂ + ... + α²_nσ²_n.

Altri teoremi: teorema di Cochran.

Relazioni con altre variabili casuali

La Normale come derivazione da altre voci

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

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Se X è distribuita come una variabile casuale binomiale con n molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere n>30), e approssimativamente np>10, allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N(np ; npq).

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Se X è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro λ molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N(λ ; λ).

Variabili casuali derivate dalla Normale

Date n distribuzioni normali Z₁(0;1); Z₂(0;1); ... Z_n(0;1) con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Allora

χ²_n= Z₁² + Z₂² + .... +Z_n²

è una variabile casuale chi quadro con $n$ gradi di libertà.

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Siano Z₁, Z₂, Z₃..., Z_n variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre a₁, a₂, a₃..., a_n delle costanti tali che

$\lambda =\sum {a_{i}^{2}},$

allora si indica con χ'² la variabile casuale chi quadro non centrale con n gradi di libertà costruita come

$\chi '^{2}=\sum (Z_{i}+a_{i})^{2}.$

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Se Z~N(0;1) e X~χ²_n, allora T=Z/√X/n è distribuita come una t di Student con n gradi di libertà.

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Se Z~N(0;1) e $T=\beta \left({\tfrac {\alpha Z}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {(\alpha Z)^{2}}{4}}+1}}\right)^{2}$, allora T è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri $\alpha$ e $\beta$.

La normale nell'inferenza bayesiana

Variabile casuale Gamma come priori coniugati della normale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la distribuzione Gamma.

Se X è una distribuzione normale con parametri μ e 1/θ

$f(x|\theta )=N(x|\mu ;1/\theta )$

ed il parametro θ ha una distribuzione Γ con i parametri a e b

$g(\theta )=\Gamma (\theta |a;b),$

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri a+1/2 e b+(μ-x)²/2

$g(\theta |x)=\Gamma (\theta |a+1/2;b+(\mu -x)^{2}/2).$

Priori coniugati normale di una normale

Se X è distribuita come una v.c. normale con parametri m e σ²

$f(x|m)=N(x|m;1/r^{2})$

e il parametro m è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri μ e σ²

$g(m)=N(m|\mu ;\sigma ^{2}),$

allora il parametro m è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri $(\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2})$ e $(\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})$

$g(m|x)=N(m|(\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2});(\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})).$

Storia

Abraham de Moivre, nell'ambito dei suoi studi sulla probabilità, introdusse per la prima volta la distribuzione normale in un articolo del 1733. Gauss, che a quel tempo non era ancora nato, ne fu invece un grande utilizzatore: egli propose la "distribuzione normale" studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi "curva di Gauss" e "curva degli errori".

Nel 1809 il matematico americano Adrain pubblicò due derivazioni della legge normale di probabilità, simultaneamente e indipendentemente da Gauss I suoi lavori rimasero ampiamente ignorati dalla comunità scientifica fino al 1871, allorché furono "riscoperti" da Cleveland Abbe..

Nel 1835 Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una "Gaussiana", ma non andò oltre.

Fu Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche "ogiva", poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine "Normale", in quanto rappresentava un substrato "normale" ovvero la "norma" per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

Bibliografia

• Sheldon Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo, 2003, ISBN 9788873038979.
• Stephen M. Stigler, Mathematical Statistics in the Early States, in The Annals of Statistics, vol. 6, n. 2, 1º marzo 1978, pp. 239–265, DOI:10.1214/aos/1176344123.

Voci correlate

• Carl Friedrich Gauss
• Curva di Hubbert
• Distribuzione normale inversa
• Distribuzione normale multivariata
• Funzione gaussiana
• Integrale di Gauss
• Regola 68-95-99,7
• Statistica parametrica
• Teoria delle probabilità
• Teorema di Cochran

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Distribuzione normale, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione normale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Thermopedia, "Gaussian Distribution"