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In algebra lineare, l'esponenziale di matrice è la funzione di matrice corrispondente alla funzione esponenziale di una matrice quadrata.

La matrice esponenziale compare ad esempio nella risoluzione dei sistemi lineari di equazioni differenziali. Ha quindi un'importante applicazione nella teoria dei sistemi e nella teoria dei controlli automatici.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   una matrice quadrata   a coefficienti reali o complessi. La matrice esponenziale di  , indicata con  , è una matrice quadrata   ottenuta con lo sviluppo in serie di potenze:

 

Si tratta di una serie che è sempre convergente, quindi la matrice esponenziale è ben definita. Si nota che se   è una matrice   (quindi   è un numero reale o complesso), la serie della matrice esponenziale corrisponde alla definizione formale della funzione esponenziale.

ProprietàModifica

La matrice esponenziale definisce una mappa:

 

dallo spazio delle matrici   al gruppo generale lineare di grado  , ovvero il gruppo delle matrici invertibili. Si tratta di una mappa suriettiva, infatti ogni matrice invertibile può essere scritta come l'esponenziale di qualche altra matrice (considerando il campo complesso).

Date due matrici   e  , si ha:

 

con   la norma matriciale. Segue che la matrice esponenziale è continua e lipschitziana su sottoinsiemi compatti di  .

Siano   e   due matrici complesse di dimensione   e siano   e   due numeri complessi. Si indica la matrice identità con   e la matrice nulla con 0. La matrice esponenziale soddisfa le seguenti proprietà:

  •  
  •  
  •  
  • Se  , allora  .
  • Se   è invertibile allora  .
  •  
  •  , dove   indica la matrice trasposta di  . Ne segue che se   è una matrice simmetrica allora   è simmetrica; inoltre se   è una matrice antisimmetrica allora   è una matrice ortogonale.
  •  , dove   indica la matrice trasposta coniugata di  . Ne segue che se   è una matrice hermitiana allora   è una matrice hermitiana; inoltre se   è una matrice antihermitiana allora   è una matrice unitaria.
  • L'esponenziale di una matrice è sempre una matrice invertibile, in analogia con il fatto che l'esponenziale di un numero complesso non è mai nullo.

DerivataModifica

La mappa:

 

definisce una curva liscia nel gruppo generale lineare che passa per l'identità se  . La derivata in   è data da:

 

Più in generale, per un esponente dipendente da  :

 

Portando   fuori dall'integrale, ed espandendo quest'ultimo tramite la formula di Baker-Campbell-Hausdorff, si ottiene l'espressione:

 

DeterminanteModifica

Per ogni matrice quadrata sul campo dei numeri complessi si ha, grazie alla formula di Jacobi:

 

Tale formula mostra che una matrice esponenziale è sempre invertibile, dato che il termine a destra non è mai nullo e quindi il determinante non è mai nullo.

Nel campo dei numeri reali la mappa:

 

non è invece suriettiva.

Calcolo della matrice esponenzialeModifica

Per il calcolo della matrice esponenziale   non viene utilizzata la serie di potenze dato che è costituita da una sommatoria di infiniti addendi. Utilizzando gli autovettori si ricava una serie con un numero finito di termini.

Considerando la diagonalizzabilità della matrice   si hanno due casi distinti.

Il caso di A diagonalizzabileModifica

Se la matrice   è diagonalizzabile significa che ha n autovettori linearmente indipendenti  . Si può quindi scrivere:

 

Con   autovettore associato all'autovalore  . Si raggruppano tutti gli autovettori in un'unica matrice:

 
 

Ponendo la matrice formata dagli autovettori pari a   e la matrice diagonale degli autovalori pari a   si ottiene:

 

Introducendo la matrice  , inversa di  , si ottengono le seguenti relazioni:

 

Dalla seconda relazione si ricava:

 

Quindi:

 

Si calcola  :

 
 

Si considera ora l'ultima relazione precedentemente ricavata e si applica la trasposta:

 

Si può quindi scrivere:

 

Si nota quindi che gli   sono autovettori sinistri di  . Si può quindi partizionare la matrice   per righe:

 

In questo modo si ottiene:

 

In conclusione, nel caso   sia diagonalizzabile, si ha:

 

con   autovettore destro e   autovettore sinistro, entrambi associati all'autovalore  

Il caso di A non diagonalizzabileModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Forma canonica di Jordan.

Se   non è diagonalizzabile si ricorre alla forma di Jordan. In questo caso si ha  , con   matrice diagonale a blocchi:

 

dove il k-esimo blocco è della forma:

 

Le matrici   vengono detti blocchi di Jordan. Utilizzando il procedimento seguito nel caso di   diagonalizzabile si ottiene:

 

dove:

 

Si nota che il prodotto delle matrici   e   è commutativo. Si può quindi scrivere:

 

Si calcola ora  :

 

Si verifica facilmente che   si calcola spostando in alto e a destra la diagonale formata dagli 1:

 
 

Dove   è la dimensione di  . Per potenze superiori a   si ha la matrice nulla.

Quindi:

 

Inoltre:

 

Quindi il k-esimo blocco di   ha la seguente espressione:

 

La matrice esponenziale vale:

 

dove   e  . La matrice   non è costituita dagli autovettori di  . Il calcolo della matrice di trasformazione   è più complesso rispetto al caso di   diagonalizzabile.

Applicazione ai sistemi di equazioni differenzialiModifica

La funzione esponenziale di una matrice viene frequentemente utilizzata per risolvere sistemi di equazioni differenziali. La soluzione di:

 

con   una matrice costante, è data da:

 

Si può anche utilizzare la funzione esponenziale di una matrice per studiare l'equazione non omogenea:

 

Non esiste invece nessuna soluzione in forma chiusa per equazioni del tipo:

 

con   non costante, tuttavia è possibile trovare una soluzione nella forma di somma infinita.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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