Solido di Catalan

In geometria un solido di Catalan, o solido archimedeo duale è un poliedro duale di un solido archimedeo. I solidi di Catalan prendono il loro nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan che per primo li ha descritti nel 1865.

Il dodecaedro rombico è uno dei 13 solidi di Catalan.

ProprietàModifica

Facce uniformiModifica

Tutti i solidi di Catalan sono convessi. Poiché i solidi archimedei hanno vertici uniformi, e la dualità scambia i ruoli di vertici e facce, quelli di Catalan hanno facce uniformi: per ogni coppia di facce, esiste una simmetria del solido che sposta la prima nella seconda. D'altra parte, come i solidi archimedei non sono uniformi sulle facce, quelli di Catalan non lo sono sui vertici: esistono infatti vertici aventi valenze differenti.

Contrariamente alle facce dei solidi platonici e dei solidi archimedei, le facce dei solidi di Catalan non sono poligoni regolari. Tuttavia le cuspidi ai vertici sono regolari e presentano angoli diedri uguali. Inoltre due dei solidi di Catalan, il dodecaedro rombico e il triacontaedro rombico, sono uniformi sugli spigoli.

ChiralitàModifica

Come per i duali solidi archimedei, vi sono due coppie chirali di solidi di Catalan: una riguarda l'icositetraedro pentagonale e l'esacontaedro pentagonale. Sono solidi che non sono equivalenti alla loro immagine riflessa. Come per l'ipersfera di Poincare' il solido di Catalan potrebbe avere degli impieghi nella trasformazione della curvature dello spazio-tempo su più dimensioni [..].

I solidiModifica

Nella tabella, il gruppo di simmetria Oh, Ih e Td è rispettivamente il gruppo di simmetria dell'ottaedro, icosaedro e tetraedro. I gruppi O ed I sono i sottogruppi rispettivamente di Oh e Ih formati dalle simmetrie che preservano l'orientazione.

Nome e immagine Solido archimedeo duale Facce Spigoli Vertici Tipo faccia Gruppo di simmetria
dodecaedro rombico
 
(Animazione)
cubottaedro 12 24 14 rombo Oh
triacontaedro rombico
 
(Animazione)
icosidodecaedro 30 60 32 rombo Ih
triacistetraedro
 
(Animazione)
tetraedro troncato 12 18 8  triangolo isoscele Td
triacisottaedro
 
(Animazione)
cubo troncato  24 36 14 triangolo isoscele Oh
tetracisesaedro
 
(Animazione)
ottaedro troncato  24 36 14 triangolo isoscele Oh
triacisicosaedro
 
(Animazione)
dodecaedro troncato  60 90 32 triangolo isoscele Ih
pentacisdodecaedro
 
(Animazione)
icosaedro troncato  60 90 32 triangolo isoscele Ih
icositetraedro trapezoidale
 
(Animazione)
rombicubottaedro  24 48 26 deltoide Oh
esacisottaedro
 
(Animazione)
cubottaedro troncato  48 72 26 triangolo scaleno Oh
esacontaedro trapezoidale
 
(Animazione)
rombicosidodecaedro  60 120 62 deltoide Ih
esacisicosaedro
 
(Animazione)
icosidodecaedro troncato  120 180 62 triangolo scaleno Ih
icositetraedro pentagonale
 
(Animazione)
 
(Animazione)
cubo camuso  24 60 38 pentagono irregolare O
esacontaedro pentagonale
 
(Animazione)
 
(Animazione)
dodecaedro camuso 60 150 92 pentagono irregolare I

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