Apri il menu principale
Il duale di un tetraedro è un altro tetraedro

In geometria, il poliedro duale di un poliedro è un altro poliedro , tale che ad ogni vertice di corrisponde una ed una sola faccia di . In altre parole, lo si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di . Il duale di è di nuovo .

Se e hanno la stessa struttura combinatoria, è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.

Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.

Indice

DefinizioniModifica

Non esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari.

Dualità combinatoriaModifica

Dal punto di vista combinatorio, due poliedri   e   sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca   fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di   e   che inverte le adiacenze. Più precisamente:

  1.   associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di   una faccia, spigolo o vertice di  ;
  2. Una faccia   di   incide su uno spigolo   se e solo se lo spigolo   incide sul vertice  ; viceversa, uno spigolo   incide su un vertice   di   se e solo se la faccia   incide su  .

Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.

Se   è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.

Dualità metricaModifica

Dal punto di vista metrico, due poliedri   e   sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera  . In questo caso si parla di dualità metrica.

Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro"  . In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in  . Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.

Poliedri dualiModifica

Dualità fra sfere geodeticheModifica

sfera geodetica come triangolazione   sfera geodetica simile ad un'arnia  

Dualità dei solidi platoniciModifica

   
Il duale del cubo è l'ottaedro Il duale dell'ottaedro è il cubo
   
Il duale del dodecaedro è l'icosaedro Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro

Collegamenti esterniModifica

  • (FR) Animazione Java, su icosaweb.ac-reunion.fr. URL consultato il 29 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 2 maggio 2005).
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica