Unità di misura di Planck

insieme di unità di misura originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck

Nella fisica delle particelle e nella [cosmologia, le unità di Planck sono un insieme di unità di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fisiche universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di 1 quando espresse in termini di queste unità.

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck, queste unità sono anche conosciute come unità naturali perché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà della natura e non da alcun costrutto umano,come ad esempio l'intensità luminosa (misurata in candele), il flusso luminoso (misurato in lumen), e la dose equivalente (misurata in Sievert), né derivano da qualsiasi proprietà della terra o dell'universo (come per esempio accade per l'accelerazione di gravità, l'atmosfera standard o la costante di Hubble), né da qualsiasi caratteristica di una data sostanza (come il punto di fusione dell'acqua, la densità dell'acqua o la capacità termica specifica dell'acqua). Le unità di Planck sono solo un insieme di più sistemi di unità naturali, ma non si basano sulle proprietà di alcun oggetto prototipo o particella che sarebbe scelta arbitrariamente (come la carica elementare, la massa a riposo dell'elettrone o la massa a riposo del protone), ma piuttosto si basano sulle proprietà dello spazio libero: difatti la velocità di Planck è la velocità della luce, il momento angolare di Planck è la costante ridotta di Planck, la resistenza di Planck è l'impedenza di spazio libero, l'entropia di Planck è la costante di Boltzmann, tutte sono proprietà dello spazio libero. Le unità di Planck hanno un significato rilevante per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche mediante la cosiddetta non dimensionalizzazione. Sono altresì rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la gravità quantistica.

Il termine scala di Planck si riferisce alle magnitudini di spazio, tempo, energia e altre unità, al di sotto delle quali (od oltre le quali) le previsioni del Modello standard, la teoria quantistica dei campi e la relatività generale non sono più riconciliabili, e si prevedono dominare gli effetti quantistici della gravità. Questa regione può essere caratterizzata da energie tra i e i (chiamate appunto energie di Planck), intervalli di tempo tra i e i (chiamati tempi di Planck) e lunghezze tra i e i (chiamate lunghezze di Planck). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno un modello scientifico per suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi secondi del nostro universo dopo il Big Bang, circa 13.800 miliardi di anni fa. Nel nuovo 2019 CODATA da NIST si prevede di usare le unità di Planck come future unità in sostituzione delle unità attuali internazionali di riferimento.

Esistono due versioni delle unità di Planck, la versione di Lorentz – Heaviside (chiamata anche razionalizzata) e la versione gaussiana (chiamata anche non razionalizzata).

Le costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a sono:

  • la velocità della luce nel vuoto, , (nota anche come velocità di Planck)
  • la costante gravitazionale,
    • per la versione gaussiana, per la versione Lorentz – Heaviside
  • la costante ridotta di Planck, , (nota anche come azione di Planck)
  • la permittività del vuoto, (nota anche come permittività di Planck)
    • per la versione Lorentz – Heaviside, per la versione gaussiana
  • la costante di Boltzmann, (nota anche come capacità termica di Planck).

Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:

con la relatività speciale,

con la relatività generale,

con la meccanica quantistica,

con l'elettromagnetismo,

con le nozioni dell'entropia, della meccanica statistica e della termodinamica.

IntroduzioneModifica

A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di misura di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. Nel Sistema internazionale, ad esempio, le quantità di base includono la lunghezza con l'unità associata del metro. Nel sistema di unità di Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck per la lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck, e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali delle leggi della fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, la legge di gravitazione universale di Newton

può essere espressa come:

Entrambe le equazioni sono dimensionalmente coerenti e ugualmente valide in qualsiasi sistema di unità, ma la seconda equazione, con mancante, riguarda solo le quantità senza dimensioni poiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una grandezza adimensionale. Se si intende che ogni grandezza fisica è il rapporto corrispondente ad una coerente unità di Planck (o "espresso in unità di Planck"), i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della grandezza fisica, senza essere scalati esplicitamente dalla loro unità corrispondente:

Quest'ultima equazione (senza ) è valida solo se , , e sono valori numerici senza dimensioni delle stesse grandezze fisiche misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità di Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegate con attenzione. Riferendosi a , Paul S. Wesson scrisse che:[1]

«Matematicamente è un trucco accettabile che salva il lavoro. Fisicamente rappresenta una perdita di informazioni e può creare confusione.»

DefinizioneModifica

In fisica, le unità di misura di Planck sono un particolare sistema di unità naturali, in cui cinque costanti hanno valore unitario:

Tabella 1: Unità universali dal 2018 CODATA normalizzate alle unità di Planck
Costante Simbolo Dimensioni fisiche Valore Teorie associate
Velocità della luce nel vuoto [2](esatta per definizione) Elettromagnetismo

Relatività ristretta

Costante gravitazionale [3] Relatività generale

Gravità newtoniana

Costante di Planck ridotta dove è la costante di Planck [4](esatta per definizione da h = 6,626 070 15 × 10−34 J⋅s) Meccanica quantistica
Costante della forza di Coulomb dove è la costante dielettrica nel vuoto [5] Elettrostatica
Costante di Boltzmann [6](esatta per definizione) Termodinamica

Meccanica statistica

Località di Panck, seconda radiazione costante Termodinamica

Meccanica statistica

Elettromagnetismo

Costante di Stefan-Boltzmann Termodinamica

Elettromagnetismo

Carica elementare

(esatta per definizione)

Elettrostatica
Costante di struttura fine o costante di Sommerfeld Numero adimensionale

Elettromagnetismo

Teoria Atomica

Nota: = lunghezza, = massa, = tempo, = carica, = temperatura.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a rispondere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

«…Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo…[7]»

(Physics Today, giugno 2001)

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è, così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base alla carica elettrica, diversamente dalla gravità, che opera in base alla massa, così che non sia possibile una diretta comparazione tra le due: è da notare, infatti, come la gravità sia una forza estremamente debole rispetto alla forza elettromagnetica; dal punto di vista delle unità naturali, sarebbe come paragonare le mele con le arance perché la massa e la carica sono grandezze incommensurabili. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni che si trovino in uno spazio vuoto surclassa la forza di attrazione gravitazionale tra gli stessi, ma la disparità di intensità delle due forze è una manifestazione del fatto che la carica dei protoni è approssimativamente la carica unitaria, mentre la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione, per questo motivo sono molto usate nella teoria dei quanti.

Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità di Planck di base:

Unità di Planck: unità fondamentaliModifica

Tabella 2: Unità di Planck dal 2018 CODATA
Dimensione Formula versione di Lorentz–Heaviside[8][9] Versione gaussiana[10][11] Valore di Lorentz-Heaviside[12][13] Valore nel Sistema Internazionale gaussiano[14]
Lunghezza di Planck Lunghezza
Massa di Planck Massa
Tempo di Planck Tempo
Carica di Planck Carica elettrica
Temperatura di Planck Temperatura

Nota: = lunghezza, = massa, = tempo, = carica, = temperatura.

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle costanti fondamentali (che sono: nella teoria della gravitazione, la costante di Newton ; nell'elettrostatica la costante di Coulomb ; nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce ; nella termodinamica la costante di Boltzmann e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridotta ) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario[15]. Ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb è l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce è la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann è l'energia termica della temperatura di Planck e la costante di Planck è l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck. Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi a seconda del sistema di misura considerato (il sistema internazionale di misura (SI), piuttosto che il sistema CGS). Le unità di Planck però portano con sé i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso. Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa secondi, la lunghezza di Planck, è volte più piccola di un protone, la massa di Planck è pari a protoni, e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la carica di Planck è volte maggiore di quella di un elettrone o un protone, la temperatura di Planck, infine, è di circa gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni aventi lunghezze d'onda pari alla lunghezza di Planck.[16]

La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come quelle del sistema internazionale, i valori delle unità di Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti solo approssimativamente. Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionale misurata rispetto alle definizioni del SI. Oggi il valore della velocità della luce nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il metro, è ora definita come la lunghezza del percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di di secondo. Quindi il valore di è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità di Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuoto , a causa della definizione di ampere che imposta la permeabilità magnetica del vuoto a : infatti, poiché e sono ben definite, dalla relazione è possibile ricavare un valore di privo di incertezze. Il valore numerico della costante ridotta di Planck è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello di è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su 21300 (o 47000 parti per miliardo).[17] appare nella definizione di quasi tutte le unità di Planck nelle tabelle 2 e 3, ma non tutte. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti SI delle unità di Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore di . (La propagazione dell'errore in è una funzione dell'esponente di nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è per ogni unità base diversa dalla carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella di . Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità di Planck di base sono noti a circa 1 parte su 43500, o 23000 parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019, (e quindi ) è un valore di riferimento esatto, è anch'essa esatta ma, poiché non è ancora esatta, anche i valori di , , e non sono esatti. Inoltre, (e quindi ) non è più esatto (solo la carica è esatta), quindi anche non è esatto come precisione numerica.

Unità di Planck: unità derivateModifica

In qualsiasi sistema di misura, le unità per molte grandezze fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità di Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato alla fisica teorica perché la maggior parte di esse è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico, e vi sono grandi incertezze nei loro valori.

Tabella 3: Unità derivate di Planck approssimate
Dimensione Formula Espressione Valore, nel SI approssimata
Versione di Lorentz–Heaviside[18] Versione gaussiana[19][20][21][22] Valore nel SI

Lorentz-Heaviside

Valore nel SI

Gaussiana

Proprietà meccanico-fisiche
Area di Planck Area
Volume di Planck Volume
Velocità di Planck Velocità
Planck Angolare Radiante adimensionale
Planck steradiante Angolo solido adimensionale
Quantità di moto di Planck Quantità di moto
Energia di Planck Energia

Forza di Planck Forza
Potenza di Planck Potenza
Intensità radiante di Planck Intensità angolare
Intensità di Planck Intensità
Densità di Planck Densità
Densità energetica di Planck Densità di energia
Frequenza angolare di Planck Frequenza
Accelerazione angolare di Planck Accelerazione angolare
Accelerazione di Planck Accelerazione
Momento inerziale di Planck Momento di inerzia
Momento angolare di Planck Momento angolare
Coppia di Planck Torque
Pressione di Planck Pressione
Tensione superficiale di Planck Tensione superficiale
Forza superficiale universale di Planck Forza superficiale universale
Durezza di indentazione di Planck Durezza di indentazione
Durezza assoluta di Planck Duerezza Assoluta

Flusso di massa di Planck Rapporto di flusso di massa
Viscosità di Planck viscosità dinamica
Viscosità cinematica di Planck viscosità cinematica
Portata volumetrica di Planck Rapporto di flusso volumetrico
Proprietà elettromagnetiche
Corrente di Planck Corrente elettrica
Forza magnetomotiva di Planck Corrente elettrica
Tensione di Planck Tensione
Forza elettromotiva di Planck Tensione
Resistenza di Planck Resistenza elettrica
Conduttanza di Planck Conduttanza elettrica
Capacità elettrica di Planck Capacità elettrica
Permittività di Planck

(Costante elettrica)

Permittività elettrica
Permeabilità di Planck

(Costante magnetica)

Permeabilità magnetica
Induttanza elettrica di Planck Induttanza
Resistività elettrica di Planck Resistività elettrica
Conduttività elettrica di Planck Conduttività elettrica
Densità di carica di Planck Densità di carica
Forza del campo elettrico di Planck Campo elettrico

Forza del campo magnetico di Planck Campo magnetico

Induzione elettrica di Planck Corrente di spostamento
Induzione magnetica di Planck Campo magnetico
Flusso elettrico di Planck Flusso magnetico
Flusso magnetico di Planck Flusso magnetico
Potenziale elettrico di Planck Tensione
Potenziale magnetico di Planck Corrente magnetica
Densità di corrente di Planck Densità di corrente elettrica
Momento elettrico di Planck Dipolo elettrico

Momento magnetico di Planck Dipolo magnetico

Monopolo magnetico di Planck Carica magnetica
Corrente magnetica di Planck Corrente magnetica
Densità di corrente magnetica di Planck Corrente magnetica
Carica specifica di Planck carica specifica
Monopolo specifica di Planck[non chiaro] carica magnetica specifica
Proprietà termodinamiche
Temperatura di Planck in 2π Temperatura
Entropia di Planck Entropia
Entropia di Planck in 2 π Entropia
Coefficiente di dilatazione termica di Planck Coefficiente di dilatazione termica
Capacità termica di Planck Capacità termica - Entropia
Calore specifico di Planck Calore specifico
Calore volumetrico di Planck Calore volumetrico
Resistenza termica di Planck Resistenza termica
Conduttanza termica di Planck Conduttanza termica
Resistività termica di Planck Resistività termica

Conducibilità termica di Planck Conducibilità termica

Isolatore termico di Planck Isolatore termico
Trasmittanza termica di Planck Trasmittanza termica
Flusso termico di Planck Intensità luminosa
Località di Planck Seconda radiazione di costante
Località di Planck con costante di struttura fine Seconda radiazione di costante
Costante di Stefan-Boltzmann di Planck Costante di proporzionalità
Proprietà radioattive
Attività specifica di Planck Attività specifica
Esposizione radioattiva di Planck Radiazioni ionizzanti
Potenziale gravitazionale di Planck calorie specifiche
Dose assorbita di Planck Dose assorbita
Velocità di dose assorbita di Planck Velocità di dose assorbita
Proprietà dei buchi neri
Massa lineare di Planck Massa lineare

Impedenza maccanica di Planck Impedenza meccanica
Gravità di superficie Gravità di superficie

Costante di accoppiamento di Planck Teoria dell'informazione

(adimensionale)

1 1
Limite di Benkenstein di Planck[23][24][24][25][26] Teoria dell'informazione

(adimensionale)

rapporto massa-massa di Planck Teoria dell'informazione

(adimensionale)

Unità di Planck Unita di Planck

(adimensionale)

Nota: è la costante di Coulomb, è la permeabilità nel vuoto, è l'impedenza di spazio libero, è l'ammissione di spazio libero, è la costante dei gas.

Nota: è la costante di Avogadro, anch'essa normalizzata a in entrambe le versioni di unità di Planck.

DiscussioneModifica

Nelle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale, ma ciò richiede una teoria della gravità quantistica di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale (che ha un'incertezza di 1 su 44000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni[27][28][29]. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere:

dove è la costante di struttura fine[30]:

Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a ), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a .

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, , divisa per . Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, , è normalizzata a nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità del sistema CGS, invece che porre a la permittività del vuoto . Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale è normalizzata a (invece che o o ), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.

«Una convenzione sempre più comune nella letteratura di fisica delle particelle e cosmologia è quella di usare 'unità di Planck ridotte' in cui (così chiamato perché la massa di Planck è ridotta di in queste unità). Queste unità hanno il vantaggio di rimuovere un fattore dalle equazione di campo di Einstein, azione di Einstein-Hilbert, equazioni di Friedmann e le equazione di Poisson per la gravitazione, a scapito di introdurne una nella legge di gravitazione universale. Un'altra convenzione che si vede occasionalmente è di impostare , che fissa il coefficiente di nell'azione di Einstein-Hilbert all'unità. Tuttavia, un'altra convenzione imposta in modo che le costanti dimensionali nella controparti gravitoelettromagnetica (GEM) delle equazioni di Maxwell vengano eliminate. Le equazioni GEM hanno la stessa forma delle equazioni di Maxwell (e dell'equazione della forza di Lorentz) dell'interazione elettromagnetica con massa (o densità di massa) che sostituisce carica (o densità di carica) e sostituendo la permittività e sono applicabili in campi gravitazionali deboli o spazio-tempo ragionevolmente piatto. Come le radiazioni elettromagnetiche, le radiazioni gravitazionali si propagano alla velocità di e hanno impedenza caratteristica di spazio libero che diventa unità se le unità sono definite giudiziosamente in modo che e

La carica, come le altre unità di Planck, non era originariamente definita da Planck. È un'unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck e viene utilizzata in alcune pubblicazioni.[31][32] La carica elementare , misurato in termini di unità di Planck, è

(Versione Lorentz – Heaviside)
(Versione gaussiana)

dove è la costante di struttura fine

La costante di struttura fine è anche chiamata la costante di accoppiamento elettromagnetico, confrontando così con la costante di accoppiamento gravitazionale . La massa a riposo dell'elettrone misurato in termini di massa di Planck, è:

(Versione Lorentz – Heaviside)

(Versione gaussiana)

dove è la costante di accoppiamento gravitazionale:

(Versione Lorentz – Heaviside)

(Versione gaussiana)

Alcune unità di Planck sono adatte per misurare quantità familiari nel mondo della fisica. Per esempio:

  • la massa di Planck è di circa (versione di Lorentz – Heaviside) o (versione gaussiana);
  • il momento di Planck è di circa (versione di Lorentz-Heaviside) o (versione gaussiana);
  • l'energia di Planck è di circa (versione Lorentz – Heaviside) o (versione gaussiana);
  • l'angolo di Planck è radiante (entrambe le versioni);
  • l'angolo solido di Planck è steradiante (entrambe le versioni);
  • la carica di Planck è di circa cariche elementari (versione Lorentz – Heaviside) o cariche elementari (versione gaussiana);
  • L'impedenza di Planck è di circa (versione Lorentz-Heaviside) o (versione gaussiana);
  • la conduttanza Planck è di circa (versione Lorentz – Heaviside) o (versione gaussiana);
  • la permeabilità di Planck è di circa (versione Lorentz – Heaviside) o (versione gaussiana);
  • il flusso elettrico di Planck è di circa (versione Lorentz – Heaviside) o (versione gaussiana).

Tuttavia, la maggior parte delle unità di Planck ha ordini di grandezza troppo grandi o troppo piccoli per essere di uso pratico, quindi le unità di Planck come sistema sono realmente rilevanti solo per la fisica teorica. In effetti, unità di Planck è spesso il valore più grande o più piccolo di una quantità fisica che ha senso secondo la nostra attuale comprensione. Per esempio:

  • La velocità di Planck è la velocità della luce nel vuoto, la massima velocità fisica possibile nella relatività speciale;[33] 1 miliardesimo della velocità di Planck è di circa 1,079 km/h.
  • La nostra comprensione del Big Bang inizia con l'epoca di Planck, quando l'universo aveva tempo di Planck e lunghezza di Planck di diametro, e aveva una temperatura di Planck pari a . In quel momento, la teoria quantistica come attualmente intesa diventa applicabile. Comprendere l'universo quando era meno di tempo di Planck richiede una teoria della gravità quantistica che incorporerebbe gli effetti quantistici nella relatività generale. Tale teoria non esiste ancora.

Nelle unità di Planck abbiamo:

(Versione Lorentz – Heaviside)
(Versione gaussiana)
(Versione Lorentz – Heaviside)
(Versione gaussiana)

dove:

è la costante di struttura fine