Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione

Sia $G$ un gruppo. Due elementi $x$ e $x^{*}$ di $G$ sono detti coniugati se esiste un terzo elemento $g$ in $G$ tale che $gxg^{-1}=x^{*}$. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di $G$ in insiemi disgiunti ogn'uno detto classe di equivalenza rispetto un elemento x fissato:

$\operatorname {Co_{G}} (\cdot x)={Co}(\cdot x)=G\circ x=\{x^{*}\in G|x^{*}=gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G$

$\operatorname {Co_{G}} (x\cdot )={Co}(x\cdot )=x^{*}\circ G=\{x\in G|g^{-1}x^{*}g=x,g\in G\}\subseteq G$

per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di x, e nel caso dell'azione di $G$ su $G$ viene detta classe di coniugio di x. Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di $G$. Se con $n_{O}=\left|{\frac {X}{G}}\right|$ indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:

$G_{\mbox{csr}}=\{x_{1},\ x_{2}\ldots ,x_{n_{O}}\}\subseteq X$

dove per l'azione di coniugio si ha $X=G$ e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:

• la ricerca degli elementi x fissati da g (lemma di Burnside)
• la partizione di n che corrisponde al numero dei tipi di S_n, essendoci isomorfismo tra G e il gruppo simmetrico (teorema di Cayley).

Descrizione tramite classi di equivalenza

Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza $\sim _{G\cdot }$ definita in $G$ ponendo per $a,b\in G$:

$a\sim _{G\cdot }b\Longleftrightarrow gag^{-1}=b\Longleftrightarrow b\in Co(a).$

La classe di equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $Hg$: infatti $g=eg$, dove $e$ è l'elemento neutro di $G$: quindi $e\in H$ perché $H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

$a\sim _{\cdot G}b\Longleftrightarrow g^{-1}bg=a\Longleftrightarrow a\in Co(b).$

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato $G$ si definisce come:

$G/\sim _{\cdot G}=G/\sim _{G\cdot }:=\{Co(x)\,|\,x\in G\},$

dove l'elemento $x$ è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.

Proprietà

• L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, cioè: $Co(e)=\{e\}$. Infatti si ha:

$geg^{-1}=gg^{-1}=e\quad \forall g\in G$

• Se $G$ è abeliano, $Co(x)=\{x\}$ per ogni $x$ in $G$. In questo caso il centro $Z(G)=G$.
• Se due elementi $x$ e $y$ appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine. In particolare per il gruppo simmetrico devono avere tutti la stessa struttura ciclica o il tipo, cioè:

  $Co(x)=\{x\in S_{n}:x=[{l_{1}}^{k_{1}}\ \ldots \ {l_{r}}^{k_{r}}]\}$

  quindi un $\alpha \in Co(x)$ ha $l_{1},l_{2},\ldots ,l_{r}$ numeri interi che rappresentano le lunghezze dei cicli nella struttura ciclica di $\alpha$ (cioè 1-ciclo, 2-ciclo ...), mentre $k_{i}$ indica il numero di cicli aventi stessa lunghezza $l_{i}$ con l'indice $i=1,2,\ldots ,r$, e rappresentando un singolo ciclo con la notazione ${\alpha _{k_{i}}}^{l_{i}}=({a_{1}}^{k_{i}}\ {a_{2}}^{k_{i}}\ \ldots {a_{l_{i}}}^{k_{i}})$ abbiamo:

  $\alpha =\sum _{i=1}^{r}\left({\alpha _{1}}^{l_{i}}\cdots {\alpha _{k_{i}}}^{l_{i}}\right)\ =\ \sum _{i=1}^{r}\left(\sum _{j=1}^{k_{i}}\alpha _{j}^{l_{i}}\right)$

  essendo $\sum \limits _{i=1}^{r}k_{i}l_{i}=n$. Allora il numero dei coniugati o dello stesso tipo di $\alpha$ è:

  $|Co(x)|={\frac {n!}{\left(k_{1}!\ l_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!\ l_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{r}!\ l_{r}^{k_{r}}\right)}}={\frac {n!}{\left(l_{1}^{k_{1}}\ l_{2}^{k_{2}}\cdots \ l_{r}^{k_{r}}\right)\left(k_{1}!\ k_{2}!\ \cdots k_{r}!\ \right)}}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}\ l_{i}^{k_{i}}\ k_{i}!}}.$

• Un elemento di $G$ appartiene al centro $Z(G)$ di $G$ se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso. In simboli:

$x\in Z(G)\iff Co(x)=\{x\}$

• Se due elementi $x$ e $y$ sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine $k$, cioè $x^{k}$ e $y^{k}$.

Coniugio come azione di gruppo

Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di $G$ in se stesso:

$g\cdot x=gxg^{-1}=y$

oppure l'azione di coniugio destra

$y\cdot g=g^{-1}yg=x.$

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di x, che denotiamo $Co(x)$ già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo $C_{G}(x)$ e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:

$C_{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G$

ed è un sottogruppo di G, per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice $[G\ :\ C_{G}(x)]$.

Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di $G$ sulla famiglia $S$ dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di $G$ con $S=\{H:H<G,\{e\},G\}$ che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè {e} e G stesso:

$g\cdot H=gHg^{-1}=K$

oppure l'azione di coniugio destra

$K\cdot g=g^{-1}Kg=H$

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.

Sottogruppo coniugato

Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:

$H^{g}=gHg^{-1}=\{ghg^{-1}\ :\ h\in H\}\leq G$

che si dimostra essere ancora un sottogruppo di G. L'insieme di tutti i coniugati di H si denota:

$Co(H)=G\circ H=\{gHg^{-1}\ :\ g\in G\}=\{H^{g}|g\in G\}$

e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice $[G:H]=[G:H^{g}]$. Infine lo stabilizzatore di tale H viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:

$N_{G}(H)=\{\ g\in G|gHg^{-1}=H\}$

Equazione delle classi di coniugio

Se $G$ è un gruppo finito, allora per ogni elemento $x$ del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:

$Co(x)=\{gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G\quad C_{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G$

e consideriamo i relativi coset sinistri:

$gC_{G}(x)=\{gh,h\in C_{G}(x)=H\}\subseteq G$

facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di $x$ sono in corrispondenza biunivoca con i coset del centralizzatore $\operatorname {C} _{G}(x).$ Infatti fissiamo due elementi $g_{1},g_{2}\in gC_{G}(x)$ dello stesso coset danno origine allo stesso elemento coniugato $x$. In particolare sia g=x e si ha:

$g_{1}=xh_{1}\quad g_{2}=xh_{2}\implies g_{2}{h_{2}}^{-1}=x\implies g_{1}=g_{2}{h_{2}}^{-1}h_{1}=g_{2}h^{'}\quad h_{1},h_{2}\in H$

Essendo facile far vedere che $h^{'}\in \operatorname {C} _{G}(x)$ si ha:

$$g_{1}xg_{1}^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ (g_{2}h^{'})^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ {h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}\ x\ h^{'}{h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}xg_{2}^{-1}.$$

cioè due elementi dello stesso coset corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe $x,y\in Co(x)$ hanno i rispettivi centralizzanti $\operatorname {C} _{G}(x),\operatorname {C} _{G}(y)$ che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio $c_{1},c_{2}\in Co_{G}(x)$ allora per i rispettivi coset sinistri rispetto al centralizzatore $C_{G}(x)$ si ha $c_{1}C_{G}(x)=c_{2}C_{G}(x)$. Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore, quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio (G è un G-insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:

$|G\circ x|=|Co(x)|=[G:C_{G}(x)]=|G|\ /\ |C_{G}(x)|,$

con $[G:C_{G}(x)]$ l'indice in $G$ del centralizzante di $x$ tramite $G$. Ovvero il numero di elementi nella classe di coniugio di $x$ è l'indice $\left[G:\operatorname {C} _{G}(x)\right]$ del centralizzatore $\operatorname {C} _{G}(x)$ in $G$; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo ($|G|$).

Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo $x_{i}$ da ogni classe di coniugio, essendo $G$ partizionato in $n_{O}$ classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene

$G=\bigcup _{i=1}^{n_{O}}\ Co(x_{i})\qquad Co(x_{i})\cap Co(x_{j})=\varnothing \quad i,j=1,\ldots ,n_{O}\ i\neq j$

e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:

$|G|=\sum _{i=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right]=1\ +\sum _{i=2}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{i})|}}$

dove $\operatorname {C} _{G}(x_{i})$ è il centralizzatore di $x_{i}.$ Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento y che sta al centro $\operatorname {Z} (G)\trianglelefteq G$ (un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio $\operatorname {Co} (y)=\{y\}$, che contiene il solo elemento y, si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:

$$|G|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|{Co(y_{i})}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{j})\right]=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}}=n_{Oz}+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}}$$

dove la somma dell'indice j è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è al centro.

La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo $|G|$ viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro ($|Z(G)|$) o delle classi di coniugio ($|O(x)|$).

Esempi

Gruppo simmetrico S_n

Consideriamo il gruppo simmetrico S₃ non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:

$S_{3}=\{\,(1)(2)(3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2)(3),(1\ 3)(2),(2\ 3)(1)\,\}$

che sappiamo avere centro banale $Z(S_{3})=\{\,(1)(2)(3))\,\}=\{\,id\,\}$ e quindi il centro $\operatorname {Z} (G)$ forma una sola classe di coniugio $\operatorname {Co} (id)=\{id\}$ e il corrispondente centralizzante $\operatorname {C} _{G}(id)=S_{3}\trianglelefteq S_{3}$ per cui ${\textstyle |{\operatorname {Z} (S_{3})}|={\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}(id)|}}={\frac {6}{6}}=1}$.

Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio $Co(x_{i})$ e i centralizzatori $\operatorname {C} _{S_{3}}(x_{i})$), dove $x_{i}\quad (i=1,\ldots n_{O})$ è il rappresentante della i-classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che n_O è pari al numero di partizioni di n=3, ossia alla decomposizione di n nella somma d'interi positivi. Essendo $1\leq 2\leq 3=n$, occorre trovare gli $i_{j}\ :\sum _{j=1}^{r}i_{j}=3\quad i\in \{1,2,3\}$ e cioè i seguenti casi:

1 + 1 + 1 = 3
1 + 2 = 3
3 = 3

quindi le classi sono 3, cioè $n_{O}=3$. Ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in S₃: $[1^{3}],[1^{1}\ 2^{1}],[3^{1}]$. L'insieme degli elementi rappresentativi sia $\{x_{1},x_{2},x_{3}\}=\{C_{3},\sigma ^{'},{C_{3}}^{3}\}$.

Calcolo dei centralizzanti

Consideriamo i 2-ciclo e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo $x\cdot e=e\cdot x$, allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre $x\cdot x=e$ cioè lo stesso x commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto S₃ non è abeliano. Quindi il tipo $[1^{1}\ 2^{1}]$ ha come generico sottogruppo centralizzante:

$\operatorname {C} _{S_{3}}(x)=\{(1)(2)(3),x\}\quad x=(1\ 2),(2\ 3),(1\ 3)$ cioè $|\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=2$

e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2: ${\color {Blue}T_{2}^{'},T_{2}^{''},T_{2}^{'''}}$

consideriamo i 3-ciclo e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale $A_{3}$, cioè quello alterno per cui per il tipo $[3^{1}]$ si ottiene

$\operatorname {C} _{S_{3}}(x)=A_{3}=\{(1)(2)(3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}$ cioè $|\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=3$

e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con A₃

infine per l'elemento neutro si ha

$\operatorname {C} _{S_{3}}(id)=S_{3}$ cioè $|\operatorname {C} _{S_{3}}(id)|=6$

cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.

Calcolo delle classi di coniugio

Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di $S_{3}$ oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-ciclo osserviamo che fissato, ad esempio, $x=(1\ 2)(3)$ come rappresentante della classe si ha:

$(1\ 3)=(2\ 3)(1\ 2){(2\ 3)}^{-1}\quad (2\ 3)=(1\ 3)(1\ 2){(1\ 3)}^{-1}$ dove abbiamo omesso i punti fissi dei cicli per semplicità.

che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:

$Co(1\ 2)=Co(1\ 3)=Co(2\ 3)=\{(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3)\}$ cioè $|Co(x)|=3$

Per i 3-ciclo allora, necessariamente, perchè le classi di coniugio formano una partizione ( con $x=(1\ 2\ 3)$ come rappresentante della classe)

$Co(\,(1\ 2\ 3)\,)=Co(\,(1\ 3\ 2)\,)=\{(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}$ cioè $|Co(\,(1\ 2\ 3)\,)|=2$

Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio

$|S_{3}|=6=|Z(S_{3})|+Co(\,(1\ 2)(3)\,)+|Co(\,(1\ 2\ 3)\,)|=|Z(S_{3})|+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((3)(1\ 2))|}}+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((1\ 2\ 3))|}}=1+3+2$

Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sui cosets di S₃:

Classi di coniugio e centralizzanti di G=S₃

$x$	${Co}_{G}(x)\subseteq G$	$H\leq G$	$G/\sim _{\cdot H}$	${Co}(H)$	$|{Co}_{G}(x)|=[G:H]$
$\sigma ^{'}$	$Co(\sigma ^{'})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$	$T_{2}^{'}$	$T_{2}^{'},\{C_{3},\sigma ^{''}\},\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}$	$\{T_{2}^{'},T_{2}^{''},T_{2}^{'''}\}$	3
	$Co(\sigma ^{''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$	$T_{2}^{''}$	$T_{2}^{''},\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\},\{C_{3},\sigma ^{'''}\}$
	$Co(\sigma ^{'''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$	$T_{2}^{'''}$	$T_{2}^{'''},\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\},\{C_{3},\sigma ^{'}\}$
$C_{3}$	$Co(C_{3})=Co(C_{3}^{2})=\{C_{3},C_{3}^{2}\}$	$A_{3}\vartriangleleft S_{3}$	$A_{3},\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$	$\{A_{3}\}$	2
$id=C_{3}^{3}$	$Z(S_{3})=\{C_{3}^{3}\}$	$S_{3}\trianglelefteq S_{3}$	$S_{3}$	$\{S_{3}\}$	1

dove x è il rappresentante della classe di coniugio, H è il sottogruppo ${C}_{G}(x)\leq G$ e Co(H) l'insieme dei sottogruppi coniugati di H. L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.

p-gruppi

Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei p-gruppi.

Consideriamo un $p$-gruppo finito $G$ cioè:

$|G|=p^{n}\quad p\in \mathbf {P} ,n\in \mathbb {N}$

dove P è l'insieme dei numeri primi ed ℕ quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che ogni $p$-gruppo finito ha un centro $Z(G)$ non-banale, cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo ($|Z(G)|\neq 1$).

Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di $G$ deve dividere l'ordine di $G,$ ne segue che qualsiasi classe di coniugio $Co(x_{j})\nsubseteq Z(G)$ ha ordine $|Co(x_{j})|=p^{k_{j}},\quad 0<k_{j}<n.$ Mentre si ha pure $Co(y_{i})=\{y_{i}\},\ |Co(y_{i})|=1.$ Nell'equazione delle classi:

$|G|=\sum _{i}|Co(y_{i})|+\sum _{j}|Co(x_{j})|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|Co(x_{j})|$

p divide $|Co(x_{j})|$ e quindi divide anche $|{\operatorname {Z} (G)}|$ che dimostra un centro non banale.

Possiamo studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:

$|G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|Co(x_{j})|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|Co(y_{i})|+\sum _{j=1}^{n_{O}}p^{k_{j}}=n_{Oz}+p+p^{2}+\ldots +p^{(n-1)}={\frac {p}{p-1}}(p^{n}-2p^{(n-1)}+1)+\sum _{j=1}^{n-1}p^{j}$

si deduce che ${\text{mcm}}\left(|{\operatorname {Z} (G)}|,p\right)=\left({\frac {p}{p-1}}(p^{n}-2p^{(n-1)}+1),p\right)=p\neq 1\implies |\operatorname {Z} (G)|>1$, cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore p.

Casi particolari

• per $n=1$, $G$ è un gruppo abeliano e si ha ${\operatorname {Z} (G)}=G\cong C_{p}$, cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine p.
• per $n=2$, $G$ è un gruppo abeliano e si ha ${\operatorname {Z} (G)}=G\cong C_{p}\times C_{p}$, cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine p. Infatti qualsiasi elemento $g\in G:g\notin Z(G)$ ammette i seguenti due casi:
  1. $g\in G\ :\ |<g>|=p^{2},$ allora $G$ è isomorfo al gruppo ciclico di ordine $p^{2},$ quindi abeliano con $Z(G)=G$.
  2. $g\in G\ :\ |<g>|=p,$ ed essendo G un p-gruppo per quanto dimostrato sopra $|\operatorname {Z} (G)|>1$ che implica due casi $|\operatorname {Z} (G)|=p$ e $|\operatorname {Z} (G)|=p^{2}.$

     • $|\operatorname {Z} (G)|=p,$ allora esiste un elemento $b$ di $G$ che non appartiene al centro di $G.$

     Da notare che $\operatorname {C} _{G}(b)$ include $b$ e il centro che non contiene $b$ ma almeno $p$ elementi. Quindi l'ordine di $\operatorname {C} _{G}(b)$ è strettamente maggiore di $p,$ e si ha:

     $\left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2}\implies b\in Z(g)$ quindi un assurdo. Ne concludiamo che $G$ è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine $p$, come nel caso 1.

     • $|\operatorname {Z} (G)|=p^{2}=|G|$ cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.

Note

Postille

Bibliografia

• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.
• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7.

Voci correlate

• Classe laterale
• Gruppo (matematica)
• Teoria dei gruppi