Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Presentazione di un gruppo

In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo $G$ è una particolare definizione ottenuta mediante l'elenco dei generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo, e delle relazioni tra i vari elementi. Indicando l'insieme dei generatori con $S$ e l'insieme delle relazioni con $R$, la presentazione di un gruppo si indica con

$G\ =\ \langle S\mid R\rangle \ =\ \langle S;R\rangle$

Definizione

La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.

Alfabeto e parole

Consideriamo un insieme detto alfabeto $S^{'}\ :\ |S^{'}|=2r$ dove per ogni $x\in S$ definiamo un ulteriore elemento $x^{-1}$, cioè:

$S^{'}=\{x_{1},x_{1}^{-1},\ldots ,x_{r},x_{r}^{-1}\}=\{x_{i},x_{i}^{-1},\;i=1,\ldots ,r\}\subseteq G$

allora definiamo una parola di lunghezza n un qualunque prodotto (cioè la legge di composizione del gruppo G) formale finito

$w\ =\ x_{i_{1}}^{\epsilon _{1}}x_{i_{2}}^{\epsilon _{2}}\ldots x_{i_{n}}^{\epsilon _{n}}\ =\ \prod _{\nu =1}^{n}x_{i_{\nu }}^{\epsilon _{\nu }}\quad \epsilon _{\nu }=\pm 1,\;i_{\nu }=1,\ldots ,r$,

e denotiamo la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore, in notazione $e_{F}\ =\ x_{i}^{0}\;i=1,\ldots ,r$. Essendovi elementi che si possono ripetere n-volte, utilizziamo le seguenti scritture abbreviate:

${\begin{matrix}x_{i}^{n}&=&\underbrace {x_{i}x_{i}\ldots x_{i}} \\&&n{\mbox{ volte}}\\x_{i}^{-n}&=&\underbrace {x_{i}^{-1}x_{i}^{-1}\ldots x_{i}^{-1}} .\\&&n{\mbox{ volte}}\end{matrix}}$

Tali sequenze di elementi del gruppo G possono essere semplificate. Infatti una generica sequenza del tipo:

$w\ =\ \ldots x_{i}x_{i}^{-1}\ldots x_{i}^{-1}x_{i}\ldots \;i=1,\ldots ,r$

ha due occorrenze che si possono cancellare riducendo la lunghezza della parola senza influenzare il suo significato. La cancellazione si può effettuare in percorsi diversi ma il risultato è sempre la stessa parola ${\overline {w}}$ per una descritta parola iniziale $w$. Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi $x_{i}$ e $x_{i}^{-1}$ contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Ad esempio:

${\begin{aligned}w_{1}&=x_{1}x_{2}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{3}x_{2}&w_{2}&=x_{1}x_{2}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{3}x_{2}\\&=x_{1}x_{3}^{-1}x_{3}x_{2}&&=x_{1}x_{2}x_{2}^{-1}x_{2}\\&=x_{1}x_{2}={\overline {w}}&&=x_{1}x_{2}={\overline {w}}\\\end{aligned}}$

quindi $w_{1}\;w_{2}$ sono due parole equivalenti perchè semplificando danno la stessa ${\overline {w}}$. Una parola ridotta verifica la seguente condizione:

$i_{\nu }\neq i_{\nu +1}\quad \nu =1,\ldots ,(2r-1)$

oppure se $i_{\nu }=i_{\nu +1}$

$\epsilon _{\nu }+\epsilon _{\nu +1}\neq 0\quad \nu =1,\ldots ,(2r-1)$

dove la parola ridotta ha lunghezza al più $2r\leq n$, basta considerare le sequenze ridotte limite:

${\begin{aligned}{\overline {w}}&=x_{1}x_{2}x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}&\ldots &&x_{r-1}x_{r}x_{r-1}^{-1}x_{r}^{-1}\\{\overline {w}}&=x_{1}^{r}x_{2}^{r}x_{1}^{-r}x_{2}^{-r}&\ldots &&x_{r-1}^{r}x_{r}^{r}x_{r-1}^{-r}x_{r}^{-r}\\\end{aligned}}$

Gruppo libero

L'insieme delle parole ridotte formate dall'alfabeto $S^{'}$ si può dotare della struttura algebrica di gruppo $\left(F(S^{'}),\circ \right)$.

• Definiamo come prodotto o legge di composizione interna tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale.

${\overline {w_{1}}}\circ {\overline {w_{2}}}\ =\ {\overline {w_{1}\cdot w_{2}}}$

• Tale prodotto è associativo, cioè

${\overline {{\overline {w_{1}\cdot w_{2}}}\cdot w_{3}}}={\overline {w_{1}\cdot {\overline {w_{2}\cdot w_{3}}}}}\quad \forall w_{1},w_{2},w_{3}\in F(S^{'})$

• L'elemento neutro è la parola vuota, già definita in precedenza

$e_{F}\ =\ x_{i}^{0}\;i=1,\ldots ,r$

• l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore $x$ con il fattore $x^{-1}$ e viceversa.

${\overline {w}}^{-1}\ =\ \left(x_{i_{1}}^{\epsilon _{1}}\ldots x_{i_{2r}}^{\epsilon _{2r}}\right)^{-1}\ =\ x_{i_{2r}}^{-\epsilon _{2r}}\ldots x_{i_{1}}^{-\epsilon _{1}}$

con la proprietà ${\overline {w}}^{-1}\circ {\overline {w}}\ =\ {\overline {w}}\circ {\overline {w}}^{-1}={\overline {w^{-1}\cdot w}}\ =\ {\overline {w\cdot w^{-1}}}\ =\ e_{F}$

L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme $S^{'}$ e indicato con $F\ =\ \langle S^{'}\rangle$.

Presentazione di un gruppo

Consideriamo un insieme $S$, il gruppo libero $\langle S\rangle$ e un sottoinsieme $R\subseteq \langle S\rangle$ formato da parole di $S$. Il gruppo di presentazione $\langle S\mid R\rangle$ è definito come il più grande gruppo quoziente di $\langle S\rangle$ tale che ogni elemento di $R$ è identificato con l'identità.

Detto $N$ il più piccolo sottogruppo normale contenente $R$ (chiusura normale di $R$), si dimostra che:

$\langle S\mid R\rangle ={\frac {\langle S\rangle }{N}}$

Gli elementi di $S$ sono detti generatori di $\langle S\mid R\rangle$, gli elementi di $R$ sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di $S$, che nella loro forma più semplice possono essere espressi come $x=1$, dove $x\in R$ e $1$ è l'identità di $\langle S\mid R\rangle$.

Presentazioni finite

Una presentazione $\langle S\mid R\rangle$ è detta finitamente generata se l'insieme $S$ dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme $R$ delle relazioni, finita se sono finiti sia $S$ che $R$. In simboli:

$S\ =\ \left\{x_{1},x_{2}\ldots ,x_{r}\right\}\subseteq G\qquad R\ =\ \left\{w_{1}=w_{2}=\ldots w_{s}=e_{G}\right\}\ =\ \left\{w_{1},w_{2},\ldots ,w_{s}\right\}\subseteq F$

Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere $S=G$ e $R$ come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo $g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}$, dove $g_{i}g_{j}=g_{k}$ è una entrata della tavola di composizione.

Presentazione ricorsiva

Se $S$ è indicizzato da un insieme $I\subseteq \mathbb {N}$, esiste una funzione biiettiva $f:\langle S\rangle \rightarrow \mathbb {N}$ e un algoritmo che, dato $f(w)\in \mathbb {N}$ permette di trovare $w\in \langle S\rangle$ e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme $U\subseteq \langle S\rangle$, diciamo che $U$ è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è $f(U)\in \mathbb {N}$.

Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).

Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.

Proprietà

Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:

• ogni gruppo ha una presentazione;
• ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
• in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
• dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $\langle S\mid R\rangle$ e $\langle T\mid Q\rangle$, con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto libero $G\star H$ ha presentazione $\langle S,T\mid R,Q\rangle$;
• dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $\langle S\mid R\rangle$ e $\langle T\mid Q\rangle$, con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto diretto $G\times H$ ha presentazione $\langle S,T\mid R,Q,[S,T]\rangle$;

Esempi di presentazioni di gruppi

Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.

Gruppo	Presentazione	Note
Gruppo libero su $S$	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
Gruppo libero abeliano su $S$	$\langle S\mid R\rangle$, dove $R$ è l'insieme di tutti i commutatori di $S$.
Gruppo simmetrico $S_{n}$	$\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}^{2},[\sigma _{i},\sigma _{j}],\sigma _{i}[\sigma _{i+1}\sigma _{i}]\sigma _{i+1}^{-1}\rangle$, dove la seconda relazione vale per $j\neq i\pm 1$.	La terza relazione si può sostituire con $(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}$, utilizzando la prima relazione. $\sigma _{i}$ è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto $\sigma _{i}\sigma _{i+1}$ è un 3-ciclo sull'insieme $\{i,i+1,i+2\}$.
Gruppo di trecce $B_{n}$	$\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid [\sigma _{i},\sigma _{j}],\sigma _{i}[\sigma _{i+1}\sigma _{i}]\sigma _{i+1}^{-1}\rangle$, dove la prima relazione vale per $j\neq i\pm 1$.	L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione ${\sigma _{i}}^{2}=1$.
$C_{n}$, gruppo ciclico di ordine n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
$D_{2n}$, gruppo diedrale di ordine n	$\langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle$	$r$ rappresenta una rotazione, $f$ una riflessione.
$D_{\infty }$, gruppo diedrale infinito	$\langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle$
$Dic_{n}$, gruppo diciclico	$\langle r,f\mid r^{2n},r^{n}f^{-2},frf^{-1}r\rangle$
Gruppo dei quaternioni $Q$	$\langle i,j\mid i^{4},i^{2}j^{2},ijij^{-1}\rangle$	Equivale al gruppo diciclico $Dic_{2}$.
Il gruppo tetraedrale $T\cong A_{4}$	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo ottaedrale$O\cong S_{4}$	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo icosaedrale $I\cong A_{5}$	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$	$\langle x,y\mid [x,y]\rangle$
$\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},[x,y]\rangle$

Note

Postille

Bibliografia

• (EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
• (EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9

Voci correlate

• Insieme di generatori
• Tavola dei gruppi piccoli
• Teorema di Van Kampen, un esempio di teorema che fa uso di presentazioni di gruppi.

Collegamenti esterni

• (EN) Gruppi e grafi di Cayley, su geom.uiuc.edu.