Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Classe laterale

La classe laterale o coset è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Definizione

Sia $(G;\cdot )$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo e $a\in G$. Nel seguito utilizziamo per la legge di composizione la notazione ${\textstyle a\cdot b=a\circ b=a\ b}$. La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ è l'insieme:

$Ha=\{b\in G\,|\,b=ha,h\in H\}=\{H\ni h=ba^{-1},b\in G\}$

cioè fissato un elemento a di G detto rappresentante della classe, si fa il prodotto (indica la legge di composizione di G) $b=\ ha$ dove h è un qualsiasi elemento del sottogruppo H. Oppure si prende l'elemento opposto di a e si fa il prodotto $ba^{-1}$ con qualsiasi elemento b di G verificando di ottenere un elemento di H.

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ come l'insieme:

$aH=\{b\in G\,|\,b=ah,h\in H\}=\{H\ni h=a^{-1}b,b\in G\}$

vale un modo di operare simile al precedente. Un teorema di Hall del 1935 permette di definire un sistema di elementi rappresentativi comune ai coset sinistri e destri non univoco.

$H_{\mbox{csr}}=\{x_{1},\ x_{2}\ldots ,x_{n_{H}}\}\subseteq G\qquad n_{H}=\left[G:H\right]$

in particolare, essendo che si verifica $hH=Hh=eH=eH\quad \forall H\leq G,\,h\in H$ si pone $x_{1}=e$ e gli altri si possono scegliere dalla relazione

$x_{i}=x_{i}H\ \cap \ Hx_{i}\quad i=2,\ \ldots ,n_{H}$

Descrizione tramite classi di equivalenza

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza $\sim _{H\cdot }$ definita in $G$ ponendo per $a,b\in G$:

$a\sim _{H\cdot }b\Longleftrightarrow ba^{-1}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.$

La classe di equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $Hg$: infatti $g=eg$, dove $e$ è l'elemento neutro di $G$: quindi $e\in H$ perché $H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

$a\sim _{\cdot H}b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.$

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi laterali distinte o disgiunte in cui è partizionato G si definisce come:

	$G/\sim _{\cdot H}:=\{xH\,|\,x\in G\}$
	$G/\sim _{H\cdot }:=\{Hx\,|\,x\in G\}$

dove l'elemento x è il rappresentante della classe laterale. Nel caso di un gruppo abeliano G si ha sempre

$G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }\qquad \forall H\leq G$

cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale. Nel caso non abeliano si possono avere sottogruppi normali e non.

Proprietà

Osserviamo che, a causa delle due equivalenze $\sim _{H\cdot }{\text{ e }}\sim _{\cdot H}$, sia i laterali sinistri che i destri del gruppo $G$ sono sottoinsiemi mutuamente disgiunti del gruppo. Quindi le due applicazioni

	$\phi _{\cdot H}\,:H\,\longrightarrow xH$
	$H\ni h\,\longrightarrow xh\in xH$
	$\phi _{H\cdot }\,:H\,\longrightarrow Hx$
	$H\ni h\,\longrightarrow hx\in Hx$

sono biunivoche. E si possono esprimere con l'unica bijezione naturale

	$\phi _{H}\,:xH\,\longrightarrow Hx$
	$xH\ni xh\,\longrightarrow hx^{-1}\in Hx$

Per cui due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità. Cioè in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo $H$ nel gruppo $G$, e si denota con più simboli a seconda del testo utilizzato

$i(H)=(G:H)=[G:H]$.

In particolare, se $G$ è finito e ha $n$ elementi, ed $H$ ha $m$ elementi, si ha $n=m\cdot i(H)$: quindi la cardinalità di ogni sottogruppo $H$ di un gruppo finito G e il suo indice $i(H)$ sono divisori della cardinalità di G (vedi teorema di Lagrange).

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo $N$ di G che definisce un'unica partizione, cioè tale che $gN=Ng\;\forall g\in G$, si dice sottogruppo normale di G; in genere tale partizione è formata da ${\textstyle i(H)}$ classi cioè dal valore dell'indice di H. Quando un sottogruppo forma una partizione che consiste di solo due classi laterali sinistre o destre cioè l'indice del sottogruppo H diventa ${\textstyle [G:H]=2}$ allora H = N cioè è normale ma non vale il viceversa. In qualsiasi gruppo i due sottogruppi banali sono normali. La definizione data consente di passare dall'insieme quoziente alla definizione di gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre. Cioè:

$G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=G/N$

e in tale gruppo abbiamo

• $xH\circ yH=xyH$ che equivale a $Hx\circ Hy=Hxy$ come legge di composizione interna associativa

$(xH\ yH)\ zH=xH\ (yH\ zH)\quad \forall xH,yH,zH\ \in G/N$

• $eH=He=eN=Ne$ come elemento neutro
• ${xH}^{-1}=x^{-1}H$ come elemento inverso

a cui viene associata una tabella di Cayley $i(H)\cdot i(H)$.

Casi particolari

• Casi particolari sono quelli dei sottogruppi impropri o banali. Sia $H=\{e\}$. In tal caso si ottiene

  $a_{i}H=\{a_{i}\}=Ha_{i}\quad i=1,2...|G|$

  quindi i laterali destri e sinistri sono uguali e contengono un solo elemento per cui $i(H)=|G|$ e il teorema di Lagrange diventa $|G|=|H|\cdot i(H)=1\cdot |G|$. L'altro caso è $H=G$ e si ottiene

  $a_{i}H=Ha_{i}=G\quad i=1,2...|G|$

  quindi i laterali destri e sinistri coincidono con una sola classe di equivalenza per cui $i(H)=1$ e il teorema di Lagrange diventa $|G|=|H|\cdot i(H)=|G|\cdot 1$.

• Se come elemento x rappresentativo della classe prendiamo l'elemento neutro di G e l'elemento h di H si ha

  $eH=\{y\in G|e^{-1}y=ey=y\in H\}=H$

  $He=\{y\in G|ye^{-1}=ye=y\in H\}=H$

  $eH=H=He$

  quindi il laterale destro e sinistro sono uguali e coincidenti con H.

  $hH=\{y\in G|h=h^{-1}y,h\in H\}=\{y\in G|hh=y,h\in H\}$

  $Hh=\{y\in G|yh^{-1}=h,h\in H\}=\{y\in G|y=hh,h\in H\}$

  quindi $hH=Hh$, inoltre si ha pure $h^{-1}yh=hyh^{-1}$ ed è vera se e solo se $y=h=hh$

  in definitiva in modo analogo al primo caso $hH=Hh=H$

  da questi due fatti si conclude $hH\ =Hh\ =eH\ =He\ =H$ e come rappresentante della classe comune si prende $x=e$, cioè l'elemento neutro di $G$.

Esempi

Gruppo simmetrico S_n

Questo esempio considera un gruppo non abeliano di ordine finito. Il gruppo simmetrico S₃ ha legge di composizione non commutativa

$\alpha \circ \beta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (1)&\alpha (2)&\alpha (3)\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\\beta (1)&\beta (2)&\beta (3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (\beta (1))&\alpha (\beta (2))&\alpha (\beta (3))\end{pmatrix}}\neq \beta \circ \alpha$

elemento neutro ed opposto

$id={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$ cioè tutti gli elementi sono punti fissi.

$\alpha ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha ^{-1}(1)&\alpha ^{-1}(2)&\alpha ^{-1}(3)\end{pmatrix}}$ occorre scambiare le righe nella notazione 2-linea.

Consideriamo i sottogruppi di S₃ il cui ordine sono divisori dell'ordine del gruppo $|S_{3}|=1\cdot 2\cdot 3=6$ per il teorema di Lagrange. Quindi i divisori possibili sono 1,2,3,6. Dalla teoria i divisori che sono numeri primi sono ordini di gruppi ciclici. Da una semplice analisi della tabella Cayley si ottengono:

• due sottogruppi normali banali $\{id\}=\{C_{3}^{3}\}=\{(1)(2)(3)\}$ ed $S_{3}=C_{3}\times C_{2}=<(1\ 3\ 2),(2\ 3)>$ di ordini 1 e 6,
• il sottogruppo normale alternante $A_{3}=\{id,(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}=C_{3}=\{C_{3}^{3},C_{3},C_{3}^{2}\}=<(1\ 3\ 2)>$ che è un gruppo ciclico di ordine 3
• tre sottogruppi delle riflessioni ${\textstyle T_{2}^{'}=\{id,(2\ 3)(1)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{'}\}=C_{2}^{'}=<(2\ 3)>}$, $T_{2}^{''}=\{id,(1\ 3)(2)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{''})\}=C_{2}^{''}=<(1\ 3)>$ e $T_{2}^{'''}=\{id,(1\ 2)(3)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{'''}\}=C_{2}^{'''}=<(1\ 2)>$ che sono gruppi ciclici di ordine 2.

quindi sono sei sottogruppi di cui tre sono normali. Abbiamo utilizzato la notazione ciclica e i simboli dei gruppi ciclici di ordine 2 e 3. Vogliamo conoscere le loro classi laterali.

Iniziamo dal caso semplice dei due sottogruppi banali:

$H=\{id\}\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\}$

quindi 6 classi laterali destro e sinistro coincidenti e l'indice diventa ${\textstyle [S_{3}:\{id\}]=6.}$

$H=S_{6}\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=S_{3}$

quindi una sola classe laterale destra e sinistra coincidente e l'indice diventa ${\textstyle [S_{3}:S_{3}]=1.}$

$H=T_{2}^{'}$. Utilizziamo la tabella Cayley del gruppo (con la convenzione che il primo fattore è quello della riga) e la tabella seguente dove fissiamo un elemento $x_{i}\in G\quad i=1,2...6$, in questo caso $x_{i}=C_{3}^{2}$ e quindi $x_{i}^{-1}=C_{3}$ e poi lo componiamo con qualsiasi elemento $x_{k}\in G\quad k=1,2...6$. Per quei prodotti che stanno in H troviamo gli $x_{k}\in x_{i}H$. Stessa procedura per trovare gli $x_{k}\in Hx_{i}$.

Classe laterale sinistra

$x_{i}$	$x_{i}^{-1}$	$x_{k}$	$x_{i}^{-1}\,x_{k}$
$C_{3}^{2}$	$C_{3}$	$C_{3}^{3}$	$C_{3}\ C_{3}^{3}=C_{3}$
		$C_{3}^{2}$	$C_{3}\ C_{3}^{2}=C_{3}^{3}\in H$
		$C_{3}$	$C_{3}\ C_{3}=C_{3}^{2}$
		$\sigma ^{'}$	$C_{3}\ \sigma ^{'}=\sigma ^{''}$
		$\sigma ^{''}$	$C_{3}\ \sigma ^{''}=\sigma ^{'''}$
		$\sigma ^{'''}$	$C_{3}\ \sigma ^{'''}=\sigma ^{'}\in H$

Classe laterale destra

$x_{i}$	$x_{i}^{-1}$	$x_{k}$	$x_{k}\,x_{i}^{-1}$
$C_{3}^{2}$	$C_{3}$	$C_{3}^{3}$	$C_{3}^{3}\ C_{3}=C_{3}$
		$C_{3}^{2}$	$C_{3}^{2}\ C_{3}=C_{3}^{3}\in H$
		$C_{3}$	$C_{3}\ C_{3}=C_{3}^{2}$
		$\sigma ^{'}$	$\sigma ^{'}\ C_{3}=\sigma ^{'''}$
		$\sigma ^{''}$	$\sigma ^{''}\ C_{3}=\sigma ^{'}\in H$
		$\sigma ^{'''}$	$\sigma ^{'''}\ C_{3}=\sigma ^{''}$

abbiamo ottenuto $x_{i}H=C_{3}^{2}H=\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}$ per il coset sinistro e $Hx_{i}=HC_{3}^{2}=\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\neq C_{3}^{2}H$ per quello destro.

Con questo modo di operare si ottengono i seguenti risultati

$\sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=T_{2}^{'}$

$\sigma ^{''}H=C_{3}H=\{C_{3},\sigma ^{''}\}\neq \{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}=H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2}$

$\sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\neq \{C_{3},\sigma ^{'''}\}=H\sigma ^{'''}=HC_{3}$

e si può notare che due laterali destri o sinistri possono coincidere ma solo nel caso dell'elemento neutro le classi destra e sinistra coincidono. Comunque le classi sinistre diverse sono tre quanto quelle destre e sono disgiunte. Per cui l'indice di H in S₃ ha valore ${\textstyle [S_{3}:T_{2}^{'}]=3.}$

Stesso metodo si applica ai restanti sottogruppi, ottenendo il risultato:

Classi laterali dei sottogruppi di S₃

$|H|$	$H$	$G/\sim _{\cdot H}$	$G/\sim _{H\cdot }$	$[S_{3}:H]$
1	$\{id\}=N$	$C_{3}^{3}\ H=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=\{\sigma ^{'''}\}$	$H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\}$	6
2	$T_{2}^{'}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'}\}$	${\begin{matrix}\sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'}\\\sigma ^{''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=&T_{2}^{'}\\H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\H\sigma ^{'''}=HC_{3}=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}$	3
2	$T_{2}^{''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{''}\}$	${\begin{matrix}\sigma ^{''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{''}\\\sigma ^{'}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{''}=&T_{2}^{''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{'''}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}$	3
2	$T_{2}^{'''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'''}\}$	${\begin{matrix}\sigma ^{'''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'''}\\\sigma ^{''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{'''}=&T_{2}^{'''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{''}=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}$	3
3	$A_{3}=\{C_{3}^{3},C_{3},C_{3}^{2}\}=N$	${\begin{matrix}C_{3}^{3}H=C_{3}^{2}H=C_{3}H=&A_{3}\\\sigma ^{'}H=\sigma ^{''}H=\sigma ^{'''}H=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}$	${\begin{matrix}HC_{3}=HC_{3}^{2}=HC_{3}^{3}=&A_{3}\\H\sigma ^{'}=H\sigma ^{''}=H\sigma ^{'''}=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}$	2
6	$S_{3}=N$	$C_{3}^{3}\ H=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=S_{3}$	$H\ C_{3}^{3}=\cdots =H\ \sigma ^{'''}=S_{3}$	1

Gruppo additivo Z

Adesso gli esempi vengono fatti su gruppi infiniti dove l'indice del sottogruppo ha valore finito. Sia $G$ il gruppo additivo degli interi

$G=Z=(\{\ldots ,-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ldots \},+)=(I,+)$

cioè del gruppo interi relativi con la legge di composizione l'usuale addizione. Quindi abbiamo

$id=0$ come elemento neutro

$-a$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione.

$a+b=b+a\quad \forall a,\ b\in G$ cioè un gruppo abeliano.

Consideriamo come sottogruppo $H\leq Z$

$H=(3\ Z,+)=(\{\ldots ,-6,-3,0,3,6,\ldots \},+).$

Allora le classi laterali destre o cosets di H in G sono i tre insiemi

$G/\sim _{H\cdot }=\{H+0,\ H+1,\ H+2\}$

dove abbiamo utilizzato la notazione per la classe laterale destra

$H+x=\{\ldots ,-6+x,\ -3+x,\ x,\ 3+x,\ 6+x,\ldots \}\qquad x=0,1,2$.

con x il rappresentante della classe.

Questi tre insiemi suddividono (o creano una partizione) l'insieme Z, quindi non ci sono altri coset destro di H. Essendo la legge di composizione dell'addizione commutativa si ha pure:

$H+x=x+H\qquad x=0,1,2$.

Cioè, ogni coset sinistro di H è anche un coset destro, e l'indice di H in G è semplicemente

$|G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=3$.

quindi $\quad H\trianglelefteq G$ cioè un sottogruppo normale con indice 3. (La stessa citazione mostra che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale.)

Generalizzando, sia G sempre il gruppo additivo degli interi, e consideriamo il generico sottogruppo H

$H=(nZ,+)=(\{\ldots ,-2n,\ -n,\ 0,\ n,\ 2n,\ldots \},+),\quad n\in I^{+}$

Allora i cosets o classi laterali destro e sinistro di H in G sono gli n insiemi (cioè l'indice di H in G vale $[G:H]=n$)

$G/\sim _{H\cdot }=\{nZ+0,\ nZ+1,\ldots ,nZ+(n-1)\}$

$G/\sim _{\cdot H}=\{0+nZ,\ 1+nZ,\ldots ,(n-1)+nZ\}$

che sono coincidenti essendo Z un gruppo additivo abeliano. Una generica classe laterale destra con rappresentante x è un insieme del tipo:

$nZ+x=\{\ldots ,-2n+x,\ -n+x,\ x,\ n+x,\ 2n+x,\ldots \}\quad x\in I+$

Non ci sono più di n cosets destro e sinistro, infatti ${\textstyle nZ+n=n(Z+1)=nZ.}$

Le classe laterale del sottogruppo normale $H=N=nZ$ forma un sottogruppo

$(nZ+x,+)=(x+nZ,+)$

e viene detta classe di congruenza di x modulo n. Il sottogruppo H = n Z è normale nel gruppo G = Z, e quindi, ha senso formare il gruppo quoziente

$G/H=G/N=Z/(nZ)=\{nZ+x=x+nZ|x\in Z\}$

detto gruppo additivo degli interi modulo n a cui viene associata una tabella Cayley n·n.

Spazio Euclediano E(n)

Un altro esempio di classi laterali viene dalla teoria dello spazio E(3) dove l'indice del sottogruppo ha valore infinito. Sia $G$ un gruppo coincidente con uno spazio vettoriale, cioè $V=G$. Gli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale formano un gruppo abeliano con legge di composizione l'usuale addizione vettoriale. Quindi abbiamo

$id=0_{V}\quad$ come elemento neutro che coincide con il punto O dello spazio E(3).

$-v\quad$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione.

$v_{1}+v_{2}=v_{2}+v_{1}\quad \forall v_{1},\ v_{2}\in G\,$ cioè V è un gruppo abeliano.

Qualsiasi elemento vettore contiene sempre il punto O ed ha tre parametri che lo contraddistinguono: modulo (distanza OP), direzione (retta passante per OP) e verso. I sottospazi di uno spazio vettoriale sono i sottogruppi di questo gruppo. Nello spazio E(3) tali sottospazi, dovendo contenere l'elemento neutro 0_V, sono rette e piani passanti per l'origine O=(0,0,0) del sistema di riferimento. Fissiamo allora un sottospazio $W=H$ e un vettore $x$ di $V$, consideriamo le classi laterali di tale elemento fissato:

$$x+W=\{\mathbf {v} \in V\mid \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}$$

dove x è sempre il rappresentante della classe. Queste classi formano una partizione di $V$, cioè sono digiunti:

$(x+W)\cap (y+W)=\emptyset \quad \forall x,\ y\in V,\ x\neq y$

Tali classi laterali sono detti sottospazi affini di V paralleli a W, e i laterali destri $W+x$ e sinistri $x+W$ coincidono essendo il gruppo abeliano, cioè ${\textstyle x+W=W+x}$. Quindi $W$ è un sottogruppo normale ed ammette in questo caso:

$|G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=\infty$.

allora definiamo lo spazio vettoriale quoziente (gruppo quoziente) come l'insieme di tutti questi sottospazi affini

$G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=V/W=\{x+W|x\in V\}$

In termini dei vettori di E(3) a 3-dimensioni, detti vettori geometrici, questi sottospazi affini sono tutte le linee o piani paralleli al sottospazio con il vettore nullo $W$, che sappiamo rappresentare una linea o un piano passante per l'origine. Ad esempio, consideriamo il piano $R^{2}$. Se r denota una retta passante per l'origine O, allora r è un sottogruppo del gruppo abeliano $R^{2}$. Se P è un punto di $R^{2}$, allora la classe laterale

$P+r=r+P$

indica il sottospazio rappresentato da una linea r^' parallela ad r e passante per il punto P.

Gruppo lineare GL(n,k)

GL(n, K) oppure con GL_n(K) indica il gruppo delle matrici sopra un campo K che sono invertibili. Questo esempio è preso dal gruppo $GL(2,\ \mathbb {R} )$. Ricordiamo che tale gruppo ha come legge di composizione interna l'usuale moltiplicazione riga per colonna di matrici

$g_{1}\circ g_{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&b^{'}\\c^{'}&d^{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aa^{'}+bc^{'}&ab^{'}+bd^{'}\\ca^{'}+dc^{'}&cb^{'}+dd^{'}\end{pmatrix}}\neq g_{2}\circ g_{1}\quad \forall g_{1}\ g_{2}\in G$

quindi un gruppo non abeliano e faremo vedere che ci sono sottogruppi normali e non. Tale gruppo ammette elemento neutro ed elemento inverso

$I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad A^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

Prendiamo come $G$ il particolare gruppo moltiplicativo delle matrici a due parametri (abbiamo due parametri noti ${\textstyle b=0,\ d=1}$),

$$G=\left\{g\in G|{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},$$

e consideriamo come sottogruppo $H$ di $G$ ad un parametro (abbiamo tre parametri noti ${\textstyle b=0,\ d=1}$ come prima e ${\textstyle a=1}$):

$$H=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}.$$

Fissiamo una matrice 2*2 da G e vogliamo trovare la generica classe laterale sinistra rispetto H essendo che non sono in numero finito come nel caso del gruppo S₃, cioè:

$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H=&~\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$$ mentre la generica classe laterale destra $${\begin{aligned}H{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=&~\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+ac^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}={\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H.\end{aligned}}$$ Cioè, le classi laterali di sinistra sono costituite da tutte le matrici di G che hanno lo stesso elemento in alto a sinistra come le classi laterali destre. Quindi il sottogruppo H è normale in G, mentre se consideriamo il sottogruppo

$$K=\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$$

essendo $${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K=&~\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\ca^{'}&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}\\=&~\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon a^{''},c^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}\end{aligned}}$$ $${\begin{aligned}K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=&~\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}\\=&~\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}\end{aligned}}$$ ne concludiamo che le classi sinistre hanno due parametri variabili ($a^{''},c^{''}$), mentre quelle destre hanno un parametroo variabile ($a^{''}$) e quindi

${\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K\neq K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}.$

cioè ${\textstyle K}$ è non normale in G.

Azione di gruppo e orbita

Un sottogruppo H di un gruppo G si utilizza per definire l'azione di H su G in due modi naturali. L'azione destra,

$G\times H\longrightarrow G$ descritta dalla

$(g,h)\ni G\times H\longrightarrow gh\in G$

e l'azione sinistra,

$H\times G\longrightarrow G$ descritta dalla

$(h,g)\ni H\times G\longrightarrow hg\in G$

L'orbita dell'elemento $g\in G$ sotto l'azione destra coincide con la classe laterale sinistra $gH\subseteq G$, mentre l'orbita sotto l'azione sinistra è il coset destro $Hg\subseteq G$.

Note

Postille

Bibliografia

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Collegamenti esterni

• Coset, in groupprops, The Group Properties Wiki.