Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Gruppo simmetrico

In matematica, il gruppo simmetrico di un insieme è il gruppo formato dall'insieme delle permutazioni dei suoi elementi, cioè dall'insieme delle funzioni biiettive di tale insieme in se stesso, munito dell'operazione binaria di composizione di funzioni. Tutti i gruppi simmetrici di insiemi aventi la stessa cardinalità sono isomorfi. Tra i gruppi simmetrici di un dato numero finito n di oggetti in genere si preferisce considerare quello costituito dalle permutazioni degli interi 1, 2, ..., n e denotarlo con Sn. Questa successione di gruppi è studiata molto approfonditamente e gioca un ruolo di primaria importanza per lo studio delle simmetrie[1]p.31. È facile provare che il gruppo Sn ha ordine n! (si veda la voce permutazione) e che non è abeliano per n > 2.

Struttura di Sn

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Gli elementi del gruppo simmetrico di un insieme X = {1, ..., n} sono le permutazioni di X. In genere X è una struttura algebrica (un gruppo, un campo, uno spazio vettoriale ...) oppure una struttura geometrica. Quest'ultima interpretazione è quella che seguiremo nel seguito. Per indicare un elemento generico di   useremo la notazione 2-linea[2]:

 

dove la seconda viene detta notazione 2-linea abbreviata[3]. Inoltre useremo la notazione ciclica:

 

dove   è un generico li-ciclo di cui più avanti ne diamo la definizione.

Operazione interna

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L'operazione di gruppo in Sn è la funzione di composizione, indicata con ∘ detta composizione delle permutazioni. La composizione αβ delle permutazioni α e β, detta "α di β", trasforma un elemento x di X a α(β(x)).

Vediamo un esempio in S5. (Per la notazione vedi argomento della permutazione):

 

Si applica α dopo β ottenendo le seguenti trasformazioni:

Composizione 2-linea
β α γ = αβ
1-2 2-2 2
2-5 5-4 4
3-4 4-5 5
4-3 3-1 1
5-1 1-3 3
Composizione ciclica
β α γ = αβ
2-ciclo dx 3-ciclo 2-ciclo 2-ciclo sx
3 → 4 4 → 4 4 → 5 5 → 5 3 → 5
5 → 5 5 → 1 1 → 1 1 → 3 5 → 3
3
4 → 3 3 → 3 3 → 3 3 → 1 4 → 1
1 → 1 1 → 2 2 → 2 2 → 2 1 → 2
2 → 2 2 → 5 5 → 4 4 → 4 2 → 4
4

Quindi la composizione α e β produce nella notazione 2-linea:

 

mentre nella rappresentazione ciclica, dalla definizione si ha   e relazioni simili si possono ottenere per α e β, per cui:

 

Assiomi del gruppo

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Per verificare che il gruppo simmetrico su un insieme X sia effettivamente un gruppo, è necessario verificare gli assioni di chiusura, associatività, identità, e inversa.[4]

  si ha
  1. L'operazione di composizione è chiusa (legge interna al gruppo) nell'insieme delle permutazioni di un certo insieme X.
     
  2. La composizione è sempre associativa.
     
  3. La bigezione banale che assegna ad ogni elemento di X lo stesso funge da identità per il gruppo.
     
    da notare la notazione ciclica interamente costituita da 1-ciclo, di cui daremo la definizione.
  1. Ogni biiezione ha una funzione inversa che annulla la sua azione, e quindi ogni elemento di un gruppo simmetrico ha un inverso che è anch'esso una permutazione.
     
    si ottiene scambiando la coppia della trasformazione, ad esempio si ha
    Inversa
         
    1-2 2-1 1
    2-5 5-2 2
    3-4 4-3 3
    4-3 3-4 4
    5-1 1-5 5
     

Rappresentazione ciclica del gruppo

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Tra gli elementi di Sn notevole importanza hanno gli l-cicli (con ln), ossia gli elementi di Sn che hanno ordine l e che hanno esattamente n-l punti fissi. Per ogni l = 2, ..., n si può dimostrare che il numero totale presenti in Sn del tipo l-ciclo è  , mentre per l = 1 abbiamo i punti fissi.

Un ciclo di lunghezza l è una permutazione   per cui si verifica la serie

 

oppure equivale alla serie

 

sono gli unici elementi trasformati da   che riportano all'elemento x di partenza; dev'essere l ≥ 2 poichè quando l = 1 l'elemento x stesso non verrebbe nemmeno spostato. L'ordine del ciclo equivale alla sua lunghezza e viene detto l-ciclo. Un l-ciclo si denota con le l-scritture equivalenti (ogni scrittura parte da un punto diverso dello stesso ciclo):

 

ad esempio per   ammette le 5 scritture equivalenti:

 
Cicli disgiunti
Due cicli sono disgiunti se hanno sottoinsiemi disgiunti di elementi. In altri termini due cicli sono disgiunti se i punti di un ciclo che non sono fissi sono fissi per l'altro ciclo. Fissato un r-ciclo   e un k-ciclo   si deve verificare
 
I cicli disgiunti commutano:  . Ad esempio, in S6 si ha (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3).
Notazione ciclica, tipo o struttura ciclica, ordine
Adesso consideriamo un generico elemento   con r cicli distinti e notazione ciclica
 
dove   è un generico li-ciclo, nell'ipotesi di cicli disgiunti  . L'ipotesi di cicli disgiunti viene utilizzata anche nel seguito.
La definizione generica del tipo di   che si decompone in Ki numero di li-cicli, con la notazione  , e dovendo essere   ci saranno dei termini nulli. Una definizione analoga è quella di struttura ciclica, supponendo di ordinare i cicli con  , con la notazione  . La notazione ciclica introdotta ha tipo o struttura ciclica  
La definizione dell'ordine di una permutazione   che denotiamo   è:
 
nel caso semplice di notazione ciclica con r cicli distinti vista all'inizio si dimostra essere
 .
Con queste definizioni possiamo dare una rappresentazione estesa o notazione ciclica estesa di   che ha tipo  :
 
dove un singolo ciclo ha la notazione  
Esempi
  1. I tipi di   sono:   e cioè   e l'equazione delle classi   di cui il primo è l'identità.
  2. La permutazione α pari ( ), cioè decomponibile in un numero pari di 2-ciclo, definita dalla notazione
     
    In notazione ciclica ha due 1-ciclo e un 3-ciclo. Il ciclo di lunghezza 3 si ottiene da α(1) = 4, α(4) = 3 e α(3) = 1, mentre i cicli di lunghezza 1 indicano che i punti 2 e 5 restano invariati. I cicli di lunghezza 1 indicano i punti fissi della permutazione f in X e, se non creano problemi d'interpretazione, vengono omessi. Denotiamo il 3-ciclo dalla (1 4 3), scritture equivalenti sono (4 3 1) o (3 1 4) partendo da un punto diverso. Quindi la permutazione α ammette le 3 scritture equivalenti:
     
    con struttura ciclica (3,1,1), ordine   e tipo   e vedremo che il numero dei coniugati o dello stesso tipo ha il valore
     
2-cicli o trasposizioni
I cicli di lunghezza 2 sono di particolare importanza. Il numero dei 2-cicli è esattamente   queste ultime permutazioni sono dette anche trasposizioni o scambi. Per   ogni l-ciclo   è il prodotto di   trasposizioni:
 
ricordo pure che   cioè commutano sempre.
Ritornando all'esempio si hanno   trasposizioni con scritture equivalenti
 
come si nota i fattori non sono unicamente determinati, ma il numero di fattori è sempre o pari o dispari. Il segno della nostra h è quindi   cioè una permutazione dispari, essendovi r=1 sola inversione

Proprietà dei cicli

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  • Segno (parità) di un elemento
  • Potenze di un elemento
    Un ciclo di lunghezza L = k · m, preso alla k-esima potenza, si decomporrà in k cicli di lunghezza m. Per esempio, per (k = 2 ed m = 3),
     
  • Elemento inverso
    Consideriamo un generico l-ciclo
     
    ammette inverso
     
     
    Adesso consideriamo un generico elemento  
     
    dove   è un generico i-ciclo, nell'ipotesi di cicli disgiunti   allora
     
    in particolare se   viene esplicitato con un numero r di 2-cicli
  • Elemento coniugato
    Consideriamo un generico l-ciclo  . Un l-ciclo ammette la seguente proprietà di coniugazione con qualsiasi permutazione  , questa proprietà è spesso utilizzata per ottenere gli elementi generatori del gruppo. Indichiamo con   l-ciclo coniugato di  .
     
    Ad esempio in S3 consideriamo il 3-ciclo  , come τ consideriamo ancora un 3-ciclo cioè con la stessa struttura ciclica di σ, sia  . Allora il coniugato σ* rispetto il τ fissato ha valore:
     
    infatti τ e σ essendo già coniugati si ha  . Generalizzando consideriamo s cicli di lunghezza li ciascuno, quindi con struttura ciclica   dove si considerano anche gli 1-ciclo, cioè:
      essendo cicli disgiunti  
    allora si ha per il coniugato rispetto τ, tale coniugato ha stessa struttura ciclica  :
     
    In notazione ciclica estesa di   che ha tipo  , il numero dei coniugati o dello stesso tipo di   è:[5]
     
    Ad esempio in S5 consideriamo   con la struttura ciclica   e fissiamo un elemento generico  . Allora il coniugato σ* rispetto il τ fissato ha valore:
     
    variando τ tra i 5! elementi di S5, si ottengono tutti i coniugati della classe di coniugazione   che ha ordine  , cioè ci sono 20 elementi che hanno stessa struttura ciclica   compresi i due analizzati.
  • Decomposizioni di un elemento
    Vediamo i casi di decomposizione possibili.
    1. Ogni elemento di Sn può essere scritto come prodotto di cicli mutuamente disgiunti; questa rappresentazione è unica per qualsiasi ordine dei fattori, con la libertà di rappresentare ogni singolo ciclo scegliendone il punto di partenza. Questo è di facile dimostrazione. Tale decomposizione è commutativa. Ad esempio
       
    2. Inoltre ogni ciclo si può decomporre anche come prodotto di trasposizioni (nella gran parte dei casi non disgiunte). Sebbene la scomposizione di un elemento di Sn in trasposizioni non sia unica e non è commutativa.
       
      In particolare può essere scritta come prodotto di trasposizioni adiacenti, cioè trasposizioni della forma (a a+1). Ad esempio, la permutazione g si può esplicitare come
       
      L'algoritmo di ordinamento bubble sort è un'applicazione di questo fatto. Anche la rappresentazione di una permutazione come prodotto di trasposizioni adiacenti non è univoca.

Trasposizioni, segno e il gruppo alterno

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Permutazione ciclica § Trasposizioni.

Una trasposizione abbiamo detto è una permutazione che scambia due elementi e mantiene fissi tutti gli altri; per esempio

 

(1 3) e (4 5) sono trasposizioni disgiunte o 2-cicli mentre (2) è 1-ciclo. Ogni permutazione può essere scritta come prodotto di trasposizioni; per esempio, la permutazione g

 

può essere scritta come composizione di 3 trasposizioni non disgiunte. Poiché si ha un prodotto di un numero dispari di trasposizioni, viene detta permutazione dispari, mentre f è una permutazione pari. La rappresentazione di una permutazione come prodotto di trasposizioni non è univoca come si nota dai  ; tuttavia, il numero di trasposizioni necessarie per rappresentare una data permutazione è sempre pari o sempre dispari. L'invarianza di questa parità è dimostrabile.

Il prodotto di due permutazioni pari è pari, il prodotto di due permutazioni dispari è pari e tutti gli altri prodotti sono dispari. Così possiamo definire il segno di una permutazione:

 
Tabella Cayley
+1 -1
+1 +1 -1
-1 -1 +1

Con questa definizione,

 

l'applicazione di Sn nel gruppo costituito da {+1,-1} munito dell'ordinario prodotto che manda un elemento in 1 se è ottenibile come prodotto di un numero pari di trasposizioni e in -1 se è ottenibile come prodotto di un numero dispari di trasposizioni è ben definita ed è un omomorfismo di gruppi. Le permutazioni la cui immagine è 1 si dicono permutazioni pari, dispari le altre. ({+1, −1} è un gruppo con la normale moltiplicazione, dove  , cioè l'elemento neutro).

Il nucleo di tale omomorfismo (o equivalentemente l'insieme delle permutazioni pari) è detto gruppo alterno (o alternante) e si indica con An. Tale sottogruppo, avendo indice su Sn e ordine o numero di elementi per il teorema di Lagrange:

 

quindi è un sottogruppo normale. Allora ha significato il sottogruppo quoziente Sn / An consistente di tutte le permutazioni dispari. Si può dimostrare che il gruppo Sn è isomorfo al prodotto semidiretto di An e qualsiasi sottogruppo generato da una singola trasposizione.

Inoltre per n ≥ 5, An è un gruppo semplice non abeliano. Un'immediata conseguenza di ciò è che An non è risolubile e dunque, dato che un sottogruppo di un gruppo risolubile è risolubile, neanche Sn per n ≥ 5 può essere risolubile (è facile invece mostrare che Sn è risolubile per n ≤ 4).

Elementi speciali

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Alcuni elementi del gruppo simmetrico che agisce sull'insieme X sono di particolare interesse (questi possono essere generalizzati al gruppo simmetrico di qualsiasi insieme finito ordinato totalmente, ma non a quello di un insieme non ordinato).

L'elemento di permutazione con inversione dell'ordine nella notazione 2-linea e ciclica:

 

questo è l'unico elemento massimale rispetto all'ordine di Bruhat e l'elemento più lungo nel gruppo simmetrico rispetto al gruppo generatore costituito dalle trasposizioni adiacenti (i i+1), 1 ≤ in − 1. Tale permutaione è un'involuzione, ed è formata da   trasposizioni non-adiacenti

 
 

quindi ha segno:

 

che è 4-periodico in n.

In S2n, l'elemento detto perfect shuffle è la permutazione che divide l'insieme in 2 pile e li interfoglia. Ha segno  

Da notare che la permutazione d'inversione di n elementi e il perfect shuffle di 2n elementi hanno stesso segno; questi sono importanti per la classificazione delle algebre di Clifford, che sono 8 periodiche.

Classi di coniugio

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Le classi di coniugio di Sn corrispondono alle decomposizioni in cicli disgiunti; in altre parole, due elementi di Sn sono coniugati se e solo se le loro decomposizioni in cicli disgiunti consistono dello stesso numero di cicli della stessa lunghezza. Per esempio, tutti i prodotti di due 2-cicli e un 3-ciclo disgiunti sono coniugati, mentre un elemento che si ottiene come prodotto di un 2-ciclo e un 3-ciclo disgiunti non è mai coniugato a un elemento che si ottiene come prodotto di due 2-cicli disgiunti.

Omomorfismi con altri gruppi

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I gruppi simmetrici  , per  , sono esempi di gruppi di Coxeter ed esempi di gruppi di riflessioni. Possono essere realizzati come gruppi di riflessioni rispetto agli iperpiani  . Inoltre Il gruppo   si può realizzare come gruppo quoziente del gruppi delle trecce  .

Uno dei motivi per cui sono particolarmente importanti i gruppi simmetrici è dato dal teorema di Cayley che afferma che ogni gruppo finito   di ordine   è isomorfo a un sottogruppo di  .

Le tabelle di Cayley sono riferite ad una struttura geometrica. Quindi il simbolo   indica rotazioni nel piano rispetto un punto fisso di  , mentre il simbolo   indica riflessioni nel piano rispetto una j-retta.

Tabella Cayley 2*2
   
     
     

Il gruppo S2 con soli   elementi (cardinalità  ), è isomorfo al gruppo ciclico  con due elementi, mentre A2 è il sottogruppo composto dalla sola identità.

Il gruppo S3 con   elementi (cardinalità  ). Ha 3 sottogruppi normali: quello banale formato dalla sola identità, l'intero gruppo S3 ed A3 che si identifica con le 3 rotazioni di 120° nel piano e comprende l'identità (gruppo ciclico  ). I tipi di cicli sono: (1)(2)(3)=e, (a b), (a b c). L'azione di gruppo sull'insieme dei vertici X = {1,2,3} viene detta simmetria e preserva la seguente struttura geometrica:

Triangolo equilatero
è isomorfo al gruppo diedrale di ordine 6 ( ), cioè il gruppo delle riflessioni e delle rotazioni simmetriche di un triangolo equilatero, dato che queste simmetrie permutano i 3 vertici del triangolo. I 2-cicli corrispondono alle riflessioni mentre i cicli di lunghezza 3 alle rotazioni. Tale isomorfismo manda A3 nel gruppo delle rotazioni del triangolo: dato che hanno 3 elementi, entrambi sono isomorfi al gruppo ciclico di 3 elementi.
    rotazione/riflessione
     
(identità)
     
     
    asse lato 23
    asse lato 13
    asse lato 12
Tabella Cayley per il prodotto o composizione e i sei elementi di simmetria del trinagolo equilatero.

Il gruppo di simmetria   con   elementi (cardinalità  . Ha 4 sottogruppi normali propri: quello banale formato dalla sola identità, il gruppo di Klein V, vale a dire le trasposizioni pari   con quoziente S3., l'intero gruppo S4 ed A4 che si identifica con le 4 rotazioni di 90° nel piano e comprende l'identità (gruppo ciclico  ). I tipi di cicli sono: (1)(2)(3)(4), (a b), (a b c), (a b c d), (a b)(c d).L'azione del gruppo sull'insieme dei vertici X = {1,2,3,4} viene detta simmetria e preserva la seguenti strutture geometriche:

Tetraedro
Coincide con il gruppo di simmetrie del tetraedro ( ) con   simmetrie: ogni permutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Tra queste,   sono rotazioni intorno ad alcuni assi (cioè il sottogruppo normale   isomorfo al gruppo ciclico di ordine 4) , mentre le altre   invertono l'orientazione dello spazio.
Cubo
è isomorfo al gruppo formato dalle 24 rotazioni proprie attorno ai   assi di simmetria. Se consideriamo l'insieme dei vertici del tipo X = {1,2,3,4,5,6,7,8 } allora le 24 rotazioni sono sottogruppi di  . Mentre se consideriamo le quattro diagonali del cubo allora l'insieme X = {1,2,3,4 } e le 24 rotazioni sono descritte dal gruppo  . Infine se consideriamo i lati del cubo si ha X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} e le rotazioni sono sottogruppi di  . Il gruppo di simmetrie del cubo ( ) è formato da   simmetrie: oltre alle 24 rotazioni viste, vi sono 9 riflessioni essendovi 9 piani di simmetria e infine 15 operazioni di simmetria di roto-riflessione.[6]
Quadrato
Un sottogruppo è costituito dal gruppo diedrale di ordine 8 ( ), cioè il gruppo delle rotazioni e delle riflessioni simmetriche di un quadrato, infatti tali simmetrie permutano i 4 vertici del quadrato.
    rotazione/riflessione
     
(identità)
     
     
     
    asse lato 12,34
    asse lato 14,23
    diagonale 24
    diagonale 13
Tabella Cayley per la composizione e gli otto elementi di simmetria del quadrato.
  1. ^ (EN) Nathan Jacobson, Basic algebra, 2ª ed., Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1.
  2. ^ (EN) Lang S., II. Groups, in Undergraduate Algebra, 3ª ed., ‎Springer Verlag, 2005, ISBN 978-0387220253.
  3. ^ (EN) I. N. Herstein, 3. The symmetric group, in Abstract Algebra, 3ª ed., ‎Wiley, 1996, p. 110, ISBN 978-0471368793.
  4. ^ (EN) Vasishtha A.R.; Vasishtha A.K., 2. Groups - §3 Group Definition, in Modern Algebra, Krishna Prakashan Media, 2008, p. 49, ISBN 9788182830561.
  5. ^ (EN) Dummit David S.; Foote Richard M., Abstract Algebra, 3ª ed., John Wiley & Sons, 2004, ISBN 0-471-43334-9.
  6. ^ (EN) J. Neubüser (1967). Die Untergruppenverbände der Gruppen der Ordnungen ̤100 mit Ausnahme der Ordnungen 64 und 96. (Tesi Ph.D. Universität Kiel)

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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