Utente:Skyhc/Sandbox2
In matematica, la misura di Lebesgue è la formalizzazione matematica del concetto naive di volume per i sottoinsiemi dello spazio euclideo Rn.
La sua scoperta fu legata al bisogno di trovare un integrale con proprietà migliori rispetto a quello di Riemann ed è il frutto del lavoro di alcune fra le menti matematiche più brillanti di fine '800 e inizio '900, tra cui Karl Weierstrass, Giuseppe Peano, Camille Jordan, Émile Borel, e, ovviamente, Henri Lebesgue. Una delle difficoltà che dovettero superare fu comprendere il rapporto (per nulla intuitivo, si vedano gli esempi di insiemi misurabili) tra la cardinalità di un insieme, la sua rilevanza topologica e le sue dimensioni rispetto ad una possibile misura su Rn. Le ricerche in questo ambito stimolarono forti avanzamenti nella teoria degli insiemi ed in topologia.
Nella prima metà del 1900 si capì che gli strumenti usati nella creazione della misura di Lebesgue su Rn potevano essere generalizzati, delineando così i fondamenti della teoria della misura come la conosciamo oggi. Nel 1933, questo permise ad Andrei Kolomogorov di porre su basi rigorose la teoria delle probabilità con la pubblicazione del suo Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung (Fondamenti di teoria delle probabilità).
Storia modifica
Costruzioni moderne della misura di Lebesgue modifica
Esempi di insiemi misurabili modifica
Un insieme non misurabile modifica
Per trovare un insieme non misurabile è necessario l'assioma della scelta. La seguente costruzione è sostanzialmente dovuta a Giuseppe Vitali.
Si consideri l'intervallo semiaperto I := [0, 1) e si definisca la relazione di equivalenza ρ che considera due elementi x, y ∈ I equivalenti se y - x è razionale. Per l'assioma della scelta esiste un insieme N che contiene un elemento per ogni classe di equivalenza modulo ρ. Risulta che N non è Lebesgue misurabile.
Prima di dimostrarlo si pongano, per ogni razionale r in I
- Mr := N + r = { x + r : x ∈ N }
ed
- Nr := ( Mr ∩ I ) ∪ ( Mr ∩ [1, ∞ ) - 1 ).
Se si suppone che N sia Lebesgue misurabile, per l'invarianza di m rispetto alle traslazioni, si ha
- m ( N ) = m ( Mr ) = m ( Mr ∩ I ) + m ( Mr ∩ [1, ∞ ) ) = m ( Nr ).
La famiglia di insiemi { Nr } partiziona I. Infatti, se x ∈ I appartiene alla classe di equivalenza di y ∈ N, possono succedere due cose
- o y < x e allora x sta in Mr ∩ I con r = x - y, i.e. x ∈ Nr ;
- o y > x e allora x = y + ( ( 1 - y ) + x ) - 1, quindi x ∈ Nr posto r = ( 1 - y ) + x .
Inoltre, se per assurdo x appartiene sia a Nr che a Nk con r diverso da k, allora esistono y e z in N tali che y = x - r o y = x - r + 1 e z = x - k o z = x - k + 1. In ogni caso la differenza z - y è un numero razionale, che è assurdo perché N, per definizione, contiene un solo elemento per ogni classe di equivalenza modulo ρ.
Ora, poichè l'insieme dei razionali r che stanno in I è numerabile, e visto che { Nr } partiziona I si ha
- 1 = m ( I ) = ∑r m ( Nr ) = ∑r m ( N )
che è assurdo perchè se fosse m ( N ) = 0 la serie di destra farebbe 0, mentre se m ( N ) > 0 la serie diverge a +∞.
Rapporti con le altre misure modifica
La misura di Haar può essere definita su ogni gruppo localmente compatto ed è una generalizzazione della misura di Lebesgue (Rn con l'addizione è un gruppo localmente compatto).
La misura di Hausdorff (vedi misura di Hausdorff) è una generalizzazione della misura di Lebesgue utile per misurare i sottoinsiemi di Rn di dimensione minore di n come le superfici, le curve, e più in generale le sottovarietà, o i frattali.
Bibliografia modifica
[[Categoria:Teoria della misura]]